Question

7．△ABC中，∠A=60°，∠B的平分線(xiàn)BD與∠C的平分線(xiàn)CE相交于點(diǎn)H，請(qǐng)猜想：線(xiàn)段BE、CD與BC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠1+∠3+∠BHC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，利用等量代換得到2（180°-∠BHC）+∠A=180°，即有∠BHC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=120°，從而求得∠BHE=60°，在BC上截取BF=BE，連接FH，由SAS證得△BHE≌△BHF（SAS），得出∠BHF=∠BHE=60°，進(jìn)一步得出∠CHF=60°，由∠DHC=∠BHE=60°，得出∠DHC=∠CHF，即可根據(jù)AAS證得△DHC≌△FHC，證得DC=FC，從而證得BE+DC=BC．

解答 解：BE+CD=BC；
如圖，∵∠ABC，∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)H，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3+∠BHC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，
∴2∠1+2∠3+∠A=180°，
∴2（180°-∠BHC）+∠A=180°，
∴∠BHC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∴∠BHE=60°，
在BC上截取BF=BE，連接FH，
在△BHE和△BHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠1=∠2}\\{BH=BH}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△BHF（SAS），
∴∠BHF=∠BHE=60°，
∴∠CHF=60°，
∵∠DHC=∠BHE=60°，
∴∠DHC=∠CHF，
在△DHC和△FHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠DHC=∠FHC}\\{HC=HC}\end{array}\right.$，
∴△DHC≌△FHC（AAS），
∴DC=FC，
∴BE+DC=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．