Question

【題目】如圖，一個直角三角形紙片的頂點A在∠MON的邊OM上移動，移動過程中始終保持AB⊥ON于點B，AC⊥OM于點A．∠MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點.

（1）點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）點A在移動的過程中，若射線ON上始終存在一點F與點A關(guān)于OP所在的直線對稱，猜想線段DF和AE有怎樣的關(guān)系，并說明理由．

（3）若∠MON＝45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】(1)、AD=AE，理由見解析；(2)、AE＝DF，AE∥DF；理由見解析；(3)、OC＝AC＋AD，理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)AB⊥ON，AC⊥OM得出∠OAB＝∠ACB，根據(jù)角平分線得出∠AOP＝∠COP，從而得出∠ADE＝∠AED，得出答案；(2)、根據(jù)點F與點A關(guān)于OP所在的直線對稱得出AD＝FD，AE＝EF，然后證明△ADE和△FED全等，從而得出答案；(3)、延長EA到G點，使AG＝AE，根據(jù)角度之間的關(guān)系得出CG=OC，根據(jù)(1)的結(jié)論得出AD=AE，根據(jù)AD=AE=AG得出答案.

試題解析：(1)、AD＝AE

∵AB⊥ON，AC⊥OM． ∴∠OAB＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠ACB＝90°． ∴∠OAB＝∠ACB．

∵OP平分∠MON， ∴∠AOP＝∠COP． ∵∠ADE＝∠AOP＋∠OAB，∠AED＝∠COP＋∠ACB， ∴∠ADE＝∠AED．

(2)、AE＝DF，AE∥DF．

∵點F與點A關(guān)于OP所在的直線對稱，∴AD＝FD，AE＝EF，

∵AD＝AE，∴AD＝FD＝AE＝EF，∵DE＝DE， ∴△ADE≌△FED，∴∠AED＝∠FDE，AE＝DF，∴AE∥DF．

(3)、OC＝AC＋AD

延長EA到G點，使AG＝AE

∵∠OAE＝90°∴OA⊥GE，∴OG＝OE，∴∠AOG＝∠EOA ∵∠AOC＝45°，OP平分∠AOC ∴∠AOE＝22.5°

∴∠AOG＝22.5°，∠G＝67.5° ∴∠COG＝∠G＝67.5° ∴CG＝OC 由（1）得AD＝AE

∵AD＝AE＝AG ∴AC＋AD＝OC