Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（0，-6），L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為.

（1）求拋物線L的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在拋物線上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得；

(2)由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系數(shù)法求得拋物線L′的表達(dá)式為y＝x2－5x＋6，設(shè)P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根據(jù)PD⊥y軸，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD與Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可得.

(1)由題意，得，

解得：，

∴L：y=－x2－5x－6；

(2)∵拋物線L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為，

∴點(diǎn)A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′(3，0)、B′(0，6)，

∴設(shè)拋物線L′的表達(dá)式y＝x2＋bx＋6，

將A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，

∴拋物線L′的表達(dá)式為y＝x2－5x＋6，

∵A(－3，0)，B(0，－6)，

∴AO＝3，OB＝6，

設(shè)P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，

∵PD⊥y軸，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，m2－5m＋6)，

∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，

∵Rt△PDO與Rt△AOB相似，

∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況，

①當(dāng)Rt△PDO∽Rt△AOB時(shí)，則，即，

解得m1＝1，m2＝6，

∴P1(1，2)，P2(6，12)；

②當(dāng)Rt△ODP∽Rt△AOB時(shí)，則，即，

解得m3＝，m4＝4，

∴P3(，)，P4(4，2)，

∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，

∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).