Question

【題目】如圖，△ABC中，點D在BC上，BC平分∠ABE，BE∥AC，∠ADB＝60°，∠CAD＝2∠BDE，AB＝14，BD＝16，BE＝4，則CD＝_____．

Answer 1

【答案】6．

【解析】

作AF⊥BC于BC相交于F，設(shè)FD=x，分別表示AF和BF，在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理可解得x即FD的值（有兩個），由此可求出DC，作∠DAC的平分線交DC于H,可證△EBD∽△HCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得HC=3.5,由此可排除DC=10，所以可得DC=6.

如圖：作AF⊥BC于BC相交于F，作∠DAC的平分線交DC于H,過H分別作HN⊥AN,HM⊥AC，與AN的延長線和AC分別相交于N,M.

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABC＝∠EBC，

∵BE∥AC，

∴∠ACB＝∠EBC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC＝14，

∵AF⊥BC，

∴BF=FC，

設(shè)FD=x,

∵∠ADF=60°，BD=16，

∴AD=2x，AF，BF=16-x，DC=FC-DF=16-2x，

在Rt△ABF中根據(jù)勾股定理，

即，解得x=3或x=5，

∴DC=10或DC=6，

∵∠DAC的平分線交DC于H，∠CAD＝2∠BDE，

∴∠HAC=∠BDE，

又∵∠ABC＝∠EBC，

∴△EBD∽△HCA，

∴，即 ，解得HC=3.5，

∵∠ADF=60°，

∴∠ADC=120°，

∴AC＞AD，

∵HN⊥AN，HM⊥AC，∠DAC的平分線交DC于H，

∴HN=HM，

∴，

∴DH＜HC，

∴DC=DH+HC＜2HC＜7，

故DC=6.

答案為：6.