Question

如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠ABD的平分線BE交AC于G，交AD于F，且DE⊥BE．
（1）求證：DE=

1

2

BF；
（2）若BG=

2

，求BF的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,壓軸題

分析：（1）延長DE和BA交于M，根據(jù)ASA證△MBE≌△DBE，推出DE=

1

2

DM，根據(jù)ASA證△ABF≌△ADM，推出BF=DM即可；
（2）關(guān)鍵正方形性質(zhì)推出∠ADB=∠ABD，證△ABG和△DBF相似，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）證明：延長DE和BA交于M，
∵DE⊥BE，
∴∠BED=∠BEM=90°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
在△MBE和△DBE中
∠MEB=∠DEB，BE=BE，∠MBE=∠DBE，
∴△MBE≌△DBE，
∴DE=EM=

1

2

DM，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠MAD=∠BAD=90°，
∵∠EFD=∠AFB，
∴∠MDA=∠ABF，
在△ABF和△ADM中
∠MAD=∠BAF，AB=AD，∠ADM=∠ABF，
∴△ABF≌△ADM，
∴BF=DM，
∴DE=

1

2

BF．

（2）解：∵正方形ABCD，
∴∠BAC=∠ADB=

1

2

×90°=45°，
∵∠ABG=∠DBG，
∴△ABG∽△DBF，
∴

BG

BF

=

AB

BD

=

AB

2 AB

=

1

2

，
∴BF=2．

點評：本題考查了對全等三角形性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，解（1）小題關(guān)鍵是作輔助線后證出DE=

1

2

DM和DM=FB；解第（2）小題主要是證△ABG和△DBF相似．