Question

（1）如圖，P是正方形ABCD的BC邊上的中點，AP⊥PQ，且PQ交∠DCB的外角平分線于Q．求證：AP=PQ
（2）P是正方形ABCD的BC邊所在直線上的任一點，AP⊥PQ，且PQ交∠DCB的外角平分線所在直線于Q．（1）中的結論是否成立？試證之．

Answer 1

考點：正方形的性質,角平分線的定義,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）利用過點Q作QM⊥PC，于點M，證明△ABP∽△PMQ，進而得出△ABP≌△PMQ，即可得出PA=PQ．
（2）首先作輔助線：在AB上取一點M，使BM=BP，連接MP，利用ASA，易證得，△AMP≌△QCP，則可證得：AP=QP．

解答：（1）證明：過點Q作QM⊥PC，于點M，
∵AP⊥PQ，
∴∠APB+∠QPM=90°，
∵∠QPM+∠PQM=90°，
∴∠PQM=∠APB，
∵∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP∽△PMQ，
∵P是正方形ABCD的BC邊上的中點，
∴BP=PC=

1

2

AB，
∴

QM

PM

=

1

2

，
∵PQ交∠DCB的外角平分線于Q．
∴QM=CM，
∴QM=CM=PC，
∴QM=BP，
∵∠PQM=∠APB，
∠ABP=∠QMP=90°，
∴△ABP≌△PMQ，
∴PA=PQ．

（2）證明：在AB上取一點M，使BM=BP，連接MP．
∴AM=CP．
∴∠BMP=45°，
∴∠AMP=135°．
∵CQ是外角平分線，
∴∠DCQ=45°，
∴∠PCQ=135°．
∴∠AMP=∠PCQ．
∵∠APB+∠BAP=90°，∠APB+∠CPF=90°，
∴∠BAP=∠CPF．
∴△AMP≌△QCP（ASA）．
∴AP=QP．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性很強，圖形比較復雜，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的準確選擇．