Question

17．如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點(diǎn)，連接CF
（1）如圖1，當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，求證：①BE=2CF，②BE⊥CF．
（2）如圖2，把△DEC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請(qǐng)證明．如果不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明．

Answer 1

分析 （1）①由條件可證明Rt△ADC≌Rt△BEC，可證得BE=AD，再利用直角三角形的性質(zhì)可證明BE=2CF；②由直角三角形的性質(zhì)可得CF=DF，可證明∠FCD=∠ADC，可證得∠EBC+∠FCD=90°，可證明結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，可證明四邊形ACDM為平行四邊形，進(jìn)一步可證明△MAC≌△ECB，則可得MC=BE，可證得BE=2CF，再結(jié)合∠ACB=90°，可證明BE⊥CF．

解答 （1）證明：
①∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，
在△BCE和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，
∵F為線段AD的中點(diǎn)，
∴CF=AF=DF=$\frac{1}{2}$AD
∴BE=2CF；
②∵AF=CF，
∴∠DAC=∠FCA，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，
即BE⊥CF；
（2）旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后，（1）中的關(guān)系依然成立．
證明：如圖2，延長(zhǎng)CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，
又AF=DF，
∴四邊形AMDC為平行四邊形
∴AM=CD=CE，∠MAC=180°-∠ACD，
∠BCE=∠BCA+∠DCE-∠ACD=180°-∠ACD，
即∠MAC=∠BCE，
在△MAC和△ECB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠MAC=∠BCE}\\{AM=CE}\end{array}\right.$
∴△MAC≌△ECB（SAS），
∴CM=BE；∠ACM=∠CBE，
∴BE=CM=2CF；
∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°，
即BE⊥CF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等．在（1）中注意直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，在（2）中構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題知識(shí)點(diǎn)較多，但是思路清晰，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．