Question

如圖，直線y=x-3于x軸、y軸分別交于B、C；兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c同時(shí)經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在線段BC上，且S_△PAC=

1

2

S_△PAB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線y=x-3于x軸、y軸分別交于B、C，求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，然后將它們代入拋物線的解析式中，即可求得b、c的值，進(jìn)而確定該拋物線的解析式．
（2）由于△PAC、△PAB同高不等底，它們的面積比等于底邊的比，根據(jù)它們的面積關(guān)系即可得到PB=2PC，即PB：BC=2：3，易證得△BMP∽△BOC，利用相似三角形的相似比及線段OC的長，即可求得OM的長即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將其代入直線BC的解析式中，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)B在x軸上，
∴0=x-3，
∴x=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；
∵點(diǎn)C在y軸上，
∴y=0-3=-3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）；（1分）
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B（3，0）、C（0，-3），
∴

9+3b+c=0 c=-3

，
解得：b=-2，c=-3；（3分）
∴此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3．（4分）

（2）解法一：
過點(diǎn)P作PM⊥OB于點(diǎn)M；
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）
∴OB=OC=3（5分）
∵S_△PAC=

1

2

S_△PAB，
∴S_△PAB=

2

3

S_△ABC；（6分）
∵S_△ABC=

1

2

×AB×OC，S_△PAB=

1

2

×AB×PM，
∴

1

2

×AB×PM=

2

3

×

1

2

×AB×OC，
∴PM=

2

3

OC=2；（7分）
解法二：也可以先求出AB=4，再求△ABC的面積，然后利用S_△PAB=

2

3

S_△ABC求出PM的長．
求點(diǎn)P有兩種以上的解法：
法一：由于點(diǎn)P在第四象限，可設(shè)點(diǎn)P（x_P，-2）；
∵點(diǎn)P在直線y=x-3上，
∴-2=x_P-3，
∴x_P=1；（7分）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）．（8分）
法二：∵PM⊥OB，OC⊥OB，
∴PM∥OC；
∴

BM

BO

=

PM

OC

=

2

3

，
∴BM=

2

3

×3=2；（7分）
∴OM=1
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-2）．（8分）
（說明：其它解法可參照上述給分）

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及圖形面積的求法，熟練掌握三角形面積的求法，能夠?qū)⑷�角形的面積比轉(zhuǎn)換為線段的比例關(guān)系是解決（2）題的關(guān)鍵．