Question

如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
（1）求m，k的值；
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達式；
（3）將線段AB沿直線y=kx+b進行對折得到線段A₁B₁，且點A₁始終在直線OA上，當線段A₁B₁與x軸有交點時，則b的取值范圍為

 

（直接寫出答案）

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征,平行四邊形的性質(zhì),軸對稱的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）由題可得m（m+1）=（m+3）（m-1）=k，解這個方程就可求出m、k的值．
（2）由于點A、點B是定點，可對線段AB進行分類討論：AB是平行四邊形的邊、AB是平行四邊形的對角線，再利用平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式及直線的相關知識就可解決問題．
（3）由于點A關于直線y=kx+b的對稱點點A₁始終在直線OA上，因此直線y=kx+b必與直線OA垂直，只需考慮兩個臨界位置（A₁在x軸上、B₁在x軸上）對應的b的值，就可以求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵點A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上．
∴m（m+1）=（m+3）（m-1）=k．
解得：m=3，k=12．
∴m、k的值分別為3、12．
（2）設點M的坐標為（m，0），點N的坐標為（O，n）．
①若AB為平行四邊形的一邊．
Ⅰ．點M在x軸的正半軸，點N在y軸的正半軸，
連接BN、AM交于點E，連接AN、BM，如圖1，

∵四邊形ABMN是平行四邊形，
∴AE=ME，NE=BE．
∵A（3，4）、B（6，2）、M（m，0）、N（0，n），
∴由中點坐標公式可得：
x_E=

3+m

2

=

6+0

2

，y_E=

4+0

2

=

2+n

2

．
∴m=3，n=2．
∴M（3，0）、N（0，2）．
設直線MN的解析式為y=kx+b．
則有

3k+b=0 b=2

解得：

k=- 2 3 b=2

．
∴直線MN的解析式為y=-

2

3

x+2．
Ⅱ．點M在x軸的負半軸，點N在y軸的負半軸，
連接BM、AN交于點E，連接AM、BN，如圖2，

同理可得：直線MN的解析式為y=-

2

3

x-2．
②若AB為平行四邊形的一條對角線，連接AN、BM，設AB與MN交于點F，如圖3，

同理可得：直線MN的解析式為y=-

2

3

x+6，
此時點A、B都在直線MN上，故舍去．
綜上所述：直線MN的解析式為y=-

2

3

x+2或y=-

2

3

x-2．
（3）①當點B₁落到x軸上時，如圖4，

設直線OA的解析式為y=ax，
∵點A的坐標為（3，4），
∴3a=4，即a=

4

3

．
∴直線OA的解析式為y=

4

3

x．
∵點A₁始終在直線OA上，
∴直線y=kx+b與直線OA垂直．
∴

4

3

k=-1．
∴k=-

3

4

．
由于BB₁∥OA，因此直線BB₁可設為y=

4

3

x+c．
∵點B的坐標為（6，2），
∴

4

3

×6+c=2，即c=-6．
∴直線BB₁解析式為y=

4

3

x-6．
當y=0時，

4

3

x-6=0．則有x=

9

2

．
∴點B₁的坐標為（

9

2

，0）．
∵點C是BB₁的中點，
∴點C的坐標為（

6+ 9 2

2

，

2+0

2

）即（

21

4

，1）．
∵點C在直線y=-

3

4

x+b上，
∴-

3

4

×

21

4

+b=1．
解得：b=

79

16

．
②當點A₁落到x軸上時，如圖5，

此時，點A₁與點O重合．
∵點D是AA₁的中點，A（3，4），A₁（0，0），
∴D（

3

2

，2）．
∵點D在直線y=-

3

4

x+b上，
∴-

3

4

×

3

2

+b=2．
解得：b=

25

8

．
綜上所述：當線段A₁B₁與x軸有交點時，則b的取值范圍為

25

8

≤b≤

79

16

．
故答案為：

25

8

≤b≤

79

16

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、中點坐標公式[若點A（a，b）、B（c，d），則線段AB的中點坐標為（

a+c

2

，

b+d

2

）]等知識，本題還考查了分類討論的思想方法，是一道好題．