Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，若點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′，連接D′B，以下結(jié)論中：①D′B的最小值為3；②當(dāng)DE＝時(shí)，△ABD′是等腰三角形；③當(dāng)DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正確的有_____．（填上你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

當(dāng)D′落在線段AB上時(shí)，D′B的值最小，此時(shí)D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正確；

過(guò)D′作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，設(shè)AN＝x，則EM＝x﹣2.5，證出∠ED′M＝∠D′AN，因此△EMD′∽△D′N(xiāo)A，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，求出x＝4，得出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正確；

當(dāng)DE＝2時(shí)，假設(shè)△ABD′是直角三角形，則E、D′、B在一條直線上，作EF⊥AB于點(diǎn)F，由勾股定理求出D′B、EB，得出③不正確；

當(dāng)AD′＝D′B時(shí)，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，當(dāng)△ABD′是直角三角形時(shí)，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出④正確．

當(dāng)D′落在線段AB上時(shí)，D′B的值最小，如圖1所示：

此時(shí)D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，

∴①正確；

過(guò)D′作MN⊥AB交AB于點(diǎn)N，交CD于點(diǎn)M，如圖2所示：

設(shè)AN＝x，則EM＝x﹣2.5，

∵∠AD′N(xiāo)＝∠DAD′，∠ED′M＝180°﹣∠AD′E﹣∠AD′N(xiāo)＝180°﹣90°﹣∠AD′N(xiāo)＝90°﹣∠AD′N(xiāo)，

∴∠ED′M＝90°﹣∠DAD′，

∵∠D′AN＝90°﹣∠DAD′，

∴∠ED′M＝∠D′AN，

∵MN⊥AB，

∴∠EMD′＝∠AND′，

∴△EMD′∽△D′N(xiāo)A，

∴，

即，

解得：x＝4，

∴AN＝BN，

∴AD′＝D′B，

即△ABD′是等腰三角形，

∴②正確；

當(dāng)DE＝2時(shí)，假設(shè)△ABD′是直角三角形，

則E、D′、B在一條直線上，

作EF⊥AB于點(diǎn)F，如圖3所示：

D′B＝=,EB=，

∵≠

∴③不正確；

當(dāng)AD′＝D′B時(shí)，52+52≠82，

∴△ABD′不是直角三角形，

當(dāng)△ABD′是直角三角形時(shí)，D′B＝=，

∴AD′≠D′B，

∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，

∴④正確；

故答案為：①②④．