Question

如圖，已知A（2，0）、B（-1，0）、C（0，-1），在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線BC的解析式表示出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出△ACP三邊的長，從而根據(jù)：①AP=CP、②AC=AP、③CP=AC，三種不同等量關(guān)系求出符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
代入點(diǎn)B（-1，0）、C（0，-1），
求得y=-x-1；
設(shè)P（x，-x-1），因?yàn)锳（2，0），C（0，-1），則有：
AP²=（x-2）²+（-x-1）²=2x²-2x+5，
AC²=5，CP²=x²+（-x-1+1）²=2x²；
①當(dāng)AP=CP時，AP²=CP²，有：
2x²-2x+5=2x²，解得x=2.5，
∴P₁（2.5，-3.5）；
②當(dāng)AP=AC時，AP²=AC²，有：
2x²-2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1，
∴P₂（1，-2）；
③當(dāng)CP=AC時，CP²=AC²，有：
2x²=5，解得x=±

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，
∴P₃（

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2

，-

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2

-1），P₄（-

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，

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-1）；
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為：P₁（2.5，-3.5）、P₂（1，-2）、P₃（

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，-

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2

-1）、P₄（-

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2

，

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2

-1）．

點(diǎn)評：此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，同時還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．