Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標為（3，0），（3，4）．動點M、N分別從O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥AC，交AC于P，連結(jié)MP．已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為（

 

，

 

）；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）△MPA面積的有最大值嗎，若有請求此時x的值；
（3）探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？請寫出你的研究成果．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)PG和OG的長度即可求得P的坐標；
（2）可通過求△MPA的面積和x的函數(shù)關系式來得出△MPA的面積最大值及對應的x的值．
（3）△MPA為等腰三角形，則PM=PA或PM=MA或PA=AM即可，分別求x的值，即可解題．

解答：解：（1）動點運動x秒后，則BN=x，
則PG=

4

3

x，CN=3-x，
∵∠ACB=∠PCN，∠ABC=∠PNC=90°，
∴△CPN∽△CAB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，又CN=3-x，AB=4，BC=3，
∴PN=

4

3

（3-x），
則PG=NG-NP=4-

4

3

（3-x）=

4

3

x，
∴P點的坐標為 （3-x，

4

3

x）；

（2）設△MPA的面積為S，在△MPA中，MA=3-x，MA邊上的高為

4

3

x，
其中，0≤x＜3，
∴S=

1

2

（3-x）×

4

3

x=

2

3

（-x²+3x）=-

2

3

（x-

3

2

）²+

3

2

，
∴S的最大值為

3

2

，此時x=

3

2

；

（3）要使得△MPA為等腰三角形，
①AP=PM，使得AG=MG即可，
MG=3-x-x=3-2x，AG=x，解得x=1，
②AM=AP，則AM=3-x，AP=

5

3

x，解得x=

9

8

，
③PM=AM，則AM=3-x，PM=

(3-2x)2+( 4 3 x)2

，解得x=

54

43

，
故x=1或

9

8

或

54

43

時，△MPA為等腰三角形．

點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了相似三角形對應邊比值相等的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的應用、矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識點，考查學生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，本題中列出關于x的關系式并求解是解題的關鍵．