Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6．動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒5個(gè)單位的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q沿折線AC→CB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，在AC、CB上的速度分別是每秒6個(gè)單位、每秒8個(gè)單位．以PQ為邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)M與點(diǎn)C始終在PQ的同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．

（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，用含t的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求t的值．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（4）當(dāng)正方形PQMN的邊QM被△ABC的邊平分時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ =5t；（2）當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，t的值為；（3）S=25t2；；；（4）滿足條件的t的值為或．

【解析】

（1）如圖1中，作PE⊥AC于E．證明PQ＝PA即可解決問(wèn)題．

（2）如圖2中，證明∠MQC＝∠B，根據(jù)cos∠MQC＝cos∠B，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

（3）分三種情形：①當(dāng)0＜t≤時(shí)，重疊部分是正方形PQMN．②當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖3﹣2中，重疊部分是五邊形PQTRN．③當(dāng)＜t≤1時(shí)，重疊部分是四邊形PQTR，分別求解即可解決問(wèn)題．

（4）分兩種情形：①如圖4﹣1中，當(dāng)QT＝TM時(shí)，由cos∠CQT＝，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．②如圖4﹣2中，當(dāng)MT＝TQ時(shí)，由sin∠CTQ＝，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．

解：（1）如圖1中，作PE⊥AC于E．

在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=6，

∴，

∵∠PEA=∠C=90°，

∴PE∥BC，

∴，

∴，

∴AE=3t，

∵AQ=6t，

∴AE=EQ=3t，

∴PE垂直平分線段AQ，

∴PQ=PA=5t．

（2）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MQ=PQ=5t，∠MQP=90°，

∴∠AQP+∠MQC=90°，∵∠A+∠B=90°，∠A=∠AQP，

∴∠MQC=∠B，

∴cos∠MQC=cos∠B，

∴，

∴，

解得．

∴當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，t的值為．

（3）①當(dāng)時(shí)，重疊部分是正方形PQMN，S=25t2．

②當(dāng)點(diǎn)N落在BC上時(shí)，如圖3-1中，作QG⊥AB于G，NH⊥AB于H，則△QGP≌△HPN（AAS），可得QG=PH，PG=NH．

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

解得，

∴當(dāng)時(shí)，如圖3-2中，重疊部分是五邊形PQTRN，

．

③當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形PQTR，

．

（4）如圖4-1中，當(dāng)QT=TM時(shí)，由，可得，解得．

如圖4-2中，當(dāng)MT=TQ時(shí)，由，可得，解得．

綜上所述，滿足條件的t的值為或．