Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，延長BC到D，使BD=2BC，連接AD，過C作CE⊥BD交AD于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)O．
（1）求證：∠CAD=∠ABE．
（2）求證：OA=OC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）求出BC=DC，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得DE=BE，再根據(jù)等邊對等角可得∠D=∠DBE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACB=∠D+∠CAD，∠ABC=∠DBE+∠ABE，然后等量代換即可得證；
（2）取DE的中點(diǎn)為F，連接CF，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得CF∥BE且CF=

1

2

BE，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠CFA=∠AEB，然后利用“角邊角”證明△CAF和△ABE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CF，再求出AE=EF，然后根據(jù)三角形的中位線定理證明即可．

解答：證明：（1）∵BD=2BC，
∴BC=DC，
∵CE⊥BD，
∴DE=BE，
∴∠D=∠DBE，
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，∠ABC=∠DBE+∠ABE，
∴∠CAD=∠ABE；

（2）如圖，取DE的中點(diǎn)為F，連接CF，
∵CE⊥BD，
∴DF=CF=EF，
∵BC=CD，
∴CF∥BE且CF=

1

2

BE，
∴∠CFA=∠AEB，
在△CAF和△ABE中，

∠CFA=∠AEB AC=BA ∠CAF=∠ABE

，
∴△CAF≌△ABE（ASA），
∴AE=CF，
∴AE=CF=DF=EF，
∵CF∥BE，
∴

AO

CO

=

EF

AE

=1
∴AO=CO．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形．