Question

已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如圖1，當點O、A、C在同一條直線上時，∠BOD的度數是

 

；
如圖2，若OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數是

 

；


（2）當∠COD從圖1的位置開始，繞點O逆時針方向旋轉180°，作射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD，在旋轉過程中，發(fā)現∠MON的度數保持不變．
①∠MON的度數是

 

；
②請選擇下列圖3、圖4、圖5、圖6四種情況中的兩種予以證明．

Answer 1

考點：角的計算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）根據角的計算法則即可求出∠BOD的度數，根據角的平分線定義可得∠BOC=

1

2

∠COD，根據角的計算可求出∠AOC的度數．
（2）∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD，再根據角的計算進行轉換即可求出∠MON的度數．

解答：解：（1）∵點O、A、C在同一條直線上
∴∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°
∵OB平分∠COD
∴∠COB=

1

2

∠COD=

1

2

×30°=15°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-15°=75°

（2）①∠MON=60°
②圖4證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC
=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
=

1

2

∠AOC+∠BOC+

1

2

∠BOD=

1

2

×120°
=60°
圖5證明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=

1

2

∠AOC，∠BON=

1

2

∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
∴∠AOC+∠BOD-2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠CON
=∠MOC+∠BON-∠BOC
=

1

2

∠AOC+

1

2

∠BOD-∠BOC
=

1

2

×120°
=60°．

點評：本題考查了角平分線定義和角的計算，關鍵是求出∠AOC，∠BOD和∠BOC的關系，然后計算即可．