Question

17．如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)．
（1）寫出O到△BC三個頂點(diǎn)的距離的關(guān)系（不要求證明）；
（2）如果點(diǎn)M，N分別在線段AB，AC上移動，在移動中保持AN=BM，請你判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）若AN=3，NC=4，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）連OA，由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，并且AO⊥BC，則∠NAO=∠B=45°，根據(jù)全等三角形的判定得到△NAO≌△MBO，則 ON=OM，∠AON=∠BOM，又∠BOM+∠AOM=90°，得到∠AON+∠AOM=90°，即可得出△OMN是等腰直角三角形；
（3）由全等三角形的性質(zhì)得出BM=AN=3，求出AM=AB-BM=4，在Rt△AMN中，由勾股定理求出MN即可．

解答 解：（1）OA=OB=OC；理由如下：
連接OA，如圖所示：
∵AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)．
∴OA=$\frac{1}{2}$BC=OB=OC，
即O到△BC三個頂點(diǎn)的距離相等；
（2）△OMN是等腰直角三角形；理由如下：
∵AC=AB，∠BAC=90°，
∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，
∴∠NAO=45°，
∴∠NAO=∠B，
在△NAO和△MBO 中，$\left\{\begin{array}{l}{AN=BM}&{\;}\\{∠NAO=∠B}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△NAO≌△MBO（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM，
∵AC=AB，O是BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，
即∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°，
即∠NOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
（3）∵AN=3，NC=4，
∴AB=AC=3+4=7，
由（2）得：△NAO≌△MBO，
∴BM=AN=3，
∴AM=AB-BM=7-3=4，
在Rt△AMN中，MN=$\sqrt{A{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

點(diǎn)評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．