Question

12．如圖1，在△ABC和△MNB中，∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，點(diǎn)N在BC邊上，連接AN，CM，點(diǎn)E，F(xiàn)，D，G分別為AC，AN，MN，CM的中點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)D，DG，EG．
（1）判斷四邊形EFDG的形狀，并證明；
（2）求FD的長(zhǎng)；
（3）如圖2，將圖1中的△MBN繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，猜想此時(shí)四邊形EFDG的形狀，并證明．

Answer 1

分析 （1）四邊形EFDG是平行四邊形，理由為：如圖1，連接AM，由E、F、G、H分別為中點(diǎn)，利用利用中位線定理得到兩組對(duì)邊相等，即可得證；
（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得到AC與BM平行，由三角形ACB與三角形MBN都為等腰直角三角形，由BC求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BH的長(zhǎng)，由AB+BH求出AH的長(zhǎng)，在直角三角形AMH中，利用勾股定理求出AM的長(zhǎng)，利用中位線定理求出FD的長(zhǎng)即可；
（3）四邊形EFDG為正方形，理由為：如圖2，連接CN，AM，分別交EF、CN于點(diǎn)L與K，由CB-BM求出CM的長(zhǎng)，得到CM=BN，再由一對(duì)直角相等，AC=BC，利用SAS得到三角形ACM與三角形CBN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等得到AM=CN，∠CAM=∠BCN，利用同角的余角相等，求出∠AKC為直角，利用兩組對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形得到四邊形EFDG為平行四邊形，再由一個(gè)內(nèi)角為直角，且鄰邊相等即可得證．

解答 解：（1）四邊形EFDG是平行四邊形，
證明：如圖1，連接AM，

∵E、F、D、G分別為AC、AN、MN、CM的中點(diǎn)，
∴FD=EG=$\frac{1}{2}$AM，EF=GD=$\frac{1}{2}$CN，
∴四邊形EFDG是平行四邊形；
（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∵∠ACB=∠MBN=90°，AC=BC=4，MB=NB=2，
∴AC∥BM，
∴∠MBH=∠CAB=45°，
∴AB=$\frac{BC}{sin45°}$=4$\sqrt{2}$，
∴BH=MH=MBsin45°=$\sqrt{2}$，
∴AH=AB+BH=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△AMH中，由勾股定理得：AM=$\sqrt{A{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
則FD=$\frac{1}{2}$AM=$\sqrt{13}$；
（3）四邊形EFDG是正方形，
證明：如圖2，連接CN，AM，分別交EF、CN于點(diǎn)L與K，

由已知得：點(diǎn)M和點(diǎn)D分別落在BC與AB邊上，
∴CM=CB-BM=4-2=2，
∴CM=BN，
∵∠ACM=∠CBN=90°，AC=BC，
∴△ACM≌△CBN（SAS），
∴AM=CN，∠CAM=∠BCN，
∵∠ACK+∠KCM=90°，
∴∠ACK+∠CAK=90°，
在△ACK中，∠AKC=180°-（∠ACK+∠CAK）=180°-90°=90°，
由（1）可得EG∥AM∥FD，EF∥CN∥GD，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∴∠GEL=∠ELA=∠AKC=90°，
∴四邊形EFDG是矩形，
∵EG=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$CN=EF，
∴四邊形EFDG是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了幾何變換綜合題，涉及的知識(shí)有：平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，三角形中位線定理，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．