Question

18．在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，以AE為邊作?AEFG，使點(diǎn)D在AE的對邊FG上．

（1）填空：如圖1，連接DE，則△ADE的面積=$\frac{1}{2}$四邊形AEFG的面積；
并直接寫出?AEFG的面積S₁與矩形ABCD的面積S₂的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，EF與CD交于點(diǎn)P，連接PA．
①若∠F=90°，證明：A、E、P、D四點(diǎn)在同一個圓上；并直接說明點(diǎn)D、F、C、E是否在同一個圓上；
（3）如圖3，在①的條件下，若AB＜BC，AG=AE，且D是FG的中點(diǎn)，EF交CD于點(diǎn)P，試判斷以FG為直徑的圓與直線PA的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作出AE邊上的高，分別得出長方形和平行四邊形的面積表達(dá)式，可得其結(jié)果相同，從而說明平行四邊形AEFG的面積與矩形ABCD的面積相等．
（2）先求出∠ADC=∠FEA=90°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的判定定理：“如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形內(nèi)接于圓”解答．
（3）過D作DH⊥AP于H，根據(jù)∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，可得∠3=∠1，可求出△ADG∽△AEB；再根據(jù)D是FG的中點(diǎn)可求出其相似比為2，再由△ADG與△AEB相似可得其對應(yīng)邊成比例，可求出△ADG∽△AEB∽△APD；最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AD是∠GAH的平分線，可求出DG=DH，故DG=DF，即可解答．

解答 解：（1）如圖1，

過D點(diǎn)作DP垂直AE于點(diǎn)P；
∵S_ABCD=AB×AD，
S_AEFG=AE×DP=$\frac{AB}{cos∠BAE}$×（AD×cos∠ADP），
∠BAE=∠ADP，
∴S_AEFG=AB×AD，
∴S_AEFG=S_ABCD．
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE×DO，S_{四邊形AEFG}=AE×DP，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AEFG}
（2）如圖2，

因?yàn)槠叫兴倪呅蜛EFG是矩形，四邊形ABCD也是矩形；
所以∠ADC=∠FEA=90°，
則∠ADC+∠FEA=180°，
所以A、E、P、D四點(diǎn)在同一個圓上．

（3）相切．
如圖3，

過D作DH⊥AP于H；
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∴△ADG∽△AEB，
∵D是FG的中點(diǎn)，
∴$\frac{AG}{DF}=\frac{GD}{PF}=\frac{AD}{DP}$=2，
在△ADG與△APD中，
∵DF=GD，
∴$\frac{AG}{GD}=\frac{AD}{DP}$=2，
∵∠ADP=∠AGD=90°，
∴△ADG∽△AEB∽△APD，
∴∠1=∠DAP，即AD是∠GAH的平分線，
∴DG=DH=DF，
∵DP=DP，∠DHP=∠DFP=90°，
∴以FG為直徑的圓與直線PA相切．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了將四邊形面積的求法和三角函數(shù)相結(jié)合．圓內(nèi)接四邊形的判定定理，只要判斷出一組對角互補(bǔ)即可．相似三角形的判定定理、角平分形的判定定理及性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是作出AE邊上的高，作出輔助線．