Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于，且點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其對稱軸為直線．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若在軸上方的拋物線上有點(diǎn)，使的內(nèi)心恰好在軸上，求此時的面積；

（3）在直線上方的拋物線上有一動點(diǎn)，過作軸，垂足為是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，點(diǎn)為．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入并結(jié)合對稱軸公式即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得x軸平分，設(shè)交軸于點(diǎn)，利用ASA證出△EBO≌△CBO，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)對稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BD的解析式，聯(lián)立方程即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求出結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，然后根據(jù)點(diǎn)P的位置分類討論，在每種情況下根據(jù)相似三角形的對應(yīng)情況分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出結(jié)論．

解：（1）由題意可得

解得：

∴這條拋物線的解析式為；

（2）的內(nèi)心在軸上，

軸平分，設(shè)交軸于點(diǎn)，

∴∠EBO=∠CBO，

∵BO=BO，∠BOE=∠BOC=90°

∴△EBO≌△CBO

∴OE=OC=2

則，

∵，拋物線的對稱軸為直線

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）

設(shè)直線BD的解析式為

將點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入，得

解得：

所以直線為，

聯(lián)立

解得：或，其中（4,0）為點(diǎn)B的坐標(biāo)

，

∴此時為的中點(diǎn)，

．

（3）存在，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

當(dāng)時，，

，

①當(dāng)時，

∴

即，

解得， （舍去），

；

②當(dāng)時，

，

即，

解得， （均不合題意，舍去），

當(dāng)0＜時，

③∵∠OAC＞∠OBC＞∠MBO

∴不存在點(diǎn)P，使

④當(dāng)時，

解得：解得， （均不合題意，舍去），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)為．