Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿(mǎn)足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)線(xiàn)段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）能；BE=1或；（3）

【解析】

（1）由AB=AC得∠B=∠C，由△ABC≌△DEF得∠AEF=∠B，即得△ABE∽△ECM；

（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，得∠AME＞∠AEF，則AE≠AM；當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相等即可求得BE的長(zhǎng)；當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，即可證得△CAE∽△CBA，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得BE的長(zhǎng)；

（3）設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可表示出CM的長(zhǎng)，從而可以表示出AM的長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果。