Question

如圖，AB為⊙O直徑．C，D為⊙O上一點，F(xiàn)為CB延長線上一點，且

BC

=

BD

，AC=2

3

．
（1）如圖1，DF⊥CF，BC=2，證明：DF與⊙O相切；
（2）如圖2，H為⊙O上的一點，若

BD

=

DH

，DH⊥CF于F，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AB為⊙O直徑得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中利用勾股定理計算出AB=4，則根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠BAC=30°，則∠ABC=60°，再利用圓周角定理，由

BC

=

BD

得到∠BOD=2∠BAC=60°，于是可判斷OD∥BC，而DF⊥CF，所以OD⊥DF，則可根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理，由AB為⊙O直徑得∠AHB=90°，由

BD

=

DH

=

BC

得∠1=∠2=∠3=∠4，由于FH∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1+∠2+∠3+∠4+90°=180°，解得∠1=22.5°；在CA上截取CM=CB，則△BCM為等腰直角三角形，則∠BMC=45°，MB=

2

BC，可計算出∠MBA=∠1=22.5°，所以AM=BM=

2

BC，然后利用BC+

2

BC=2

3

可計算出BC的長．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=2

3

，
∴AB=

BC2+AC2

=4，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵

BC

=

BD

，
∴∠BOD=2∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴OD∥BC，
∵DF⊥CF，
∴OD⊥DF，
∴DF與⊙O相切；
（2）解：∵AB為⊙O直徑，
∴∠AHB=90°，
∵

BD

=

DH

=

BC

，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∵FH∥AC，
∴∠DHA+∠CAH=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+90°=180°，
∴∠1=22.5°，
在CA上截取CM=CB，則△BCM為等腰直角三角形，
∴∠BMC=45°，MB=

2

BC，
∵∠BMC=∠MBA+∠1，
∴∠MBA=∠1=22.5°，
∴AM=BM=

2

BC，
而CM+AM=AC，
∴BC+

2

BC=2

3

，
∴BC=2

6

-2

3

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．