Question

如圖，已知△BAC，AB=AC，O為△ABC外心，D為⊙O上一點(diǎn)，BD與AC的交點(diǎn)為E，且BC²=AC•CE
①求證：CD=CB；
②若∠A=30°，且⊙O的半徑為3+

3

，I為△BCD內(nèi)心，求OI的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：①先求出

BC

AC

=

CE

BC

，然后求出△BCE和△ACB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠CBE，再根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根據(jù)等角對等邊即可得證；
②連接OB、OC，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可得OC經(jīng)過點(diǎn)I，設(shè)OC與BD相交于點(diǎn)F，然后求出CF，再根據(jù)I是三角形的內(nèi)心，利用三角形的面積求出IF，然后求出CI，最后根據(jù)OI=OC-CI計(jì)算即可得解．

解答：①證明：∵BC²=AC•CE，
∴

BC

AC

=

CE

BC

，
又∵AB=AC，
∴∠BCE=∠ABC，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBE=∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=CB；

②解：連接OB、OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∵CD=CB，I是△BCD的內(nèi)心，
∴OC經(jīng)過點(diǎn)I，
設(shè)OC與BD相交于點(diǎn)F，
則CF=BC×sin30°=

1

2

BC，
BF=BC•cos30°=

3

2

BC，
所以，BD=2BF=2×

3

2

BC=

3

BC，
設(shè)△BCD內(nèi)切圓的半徑為r，
則S_△BCD=

1

2

BD•CF=

1

2

（BD+CD+BC）•r，
即

1

2

•

3

BC•

1

2

BC=

1

2

（

3

BC+BC+BC）•r，
解得r=

3

2(2+ 3 )

BC=

2 3 -3

2

BC，
即IF=

2 3 -3

2

BC，
所以，CI=CF-IF=

1

2

BC-

2 3 -3

2

BC=（2-

3

）BC，
OI=OC-CI=BC-（2-

3

）BC=（

3

-1）BC，
∵⊙O的半徑為3+

3

，
∴BC=3+

3

，
∴OI=（

3

-1）（3+

3

）=3

3

+3-3-

3

=2

3

．

點(diǎn)評：本題是圓的綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出等邊三角形并證明得到OC經(jīng)過△BCD的內(nèi)心I是解題的關(guān)鍵．