Question

已知a，b為實數(shù)，則a²+ab+b²-a-2b是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：配方法的應(yīng)用,非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

專題：計算題

分析：利用配方法先把二次式配成完全平方式得到a²+ab+b²-a-2b=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

b²-

3

2

b，再把含b的項配成完全平方式得到原式=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b-1）²-

3

4

然后把前面兩項配成完全平方式得到原式=（a+

1

2

b-

1

2

）²+

3

4

（b-1）²-1，再利用非負數(shù)的性質(zhì)求原式的最小值．

解答：解：存在最小值．
a²+ab+b²-a-2b=a²+ab+

1

4

b²-a-2b+

3

4

b²
=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

b²-

3

2

b
=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b²-2b）
=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b²-2b+1）-

3

4

=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

3

4

（b-1）²-

3

4

=（a+

1

2

b）²-（a+

1

2

b）+

1

4

+

3

4

（b-1）²-1
=（a+

1

2

b-

1

2

）²+

3

4

（b-1）²-1，
∵（a+

1

2

b-

1

2

）²≥0，

3

4

（b-1）²≥0，
∴當(dāng)a+

1

2

b-

1

2

=0且b-1=時，原式的值最小，
即a=0，b=1時，原式有最小值，最小值為-1．

點評：本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．也考查了非負數(shù)的性質(zhì)．