Question

如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的角平分線．
（1）若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度數(shù)；
（2）在△BED中作BD邊上的高EM；
（3）在（1）的條件下，若△ABC的面積為40，BD=5，求EM的長．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的角平分線、中線和高,三角形的面積,三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ABE，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=2∠ABE；
（2）根據(jù)三角形的高線的定義作出即可；
（3）過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)E作EN⊥AB于N，利用三角形的面積求出AF，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得EM=EN，然后利用△ABD的面積列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵∠BED=40°，∠BAD=25°，
∴∠ABE=∠BED-∠BAD=40°-25°=15°，
∵BE為△ABD的角平分線，
∴∠ABD=2∠ABE=2×15°=30°；

（2）高EM如圖所示；

（3）過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，過點(diǎn)E作EN⊥AB于N，
∵BD=5，AD為△ABC的中線，
∴BC=2BD=2×5=10，
∴△ABC的面積=

1

2

×10×AF=40，
解得AF=8，
∴AB=2AF=2×8=16，
∵BE為△ABD的角平分線，
∴EM=EN，
∴△ABD的面積=

1

2

×（16+5）×EM=

1

2

×5×8，
解得EM=

40

21

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的角平分線、中線和高，三角形的面積，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）利用△ABD的面積列出方程．