Question

已知△ABC的BC邊上的高為12，BC=6，E在AB上運(yùn)動(dòng)，平行四邊形DEFC的頂點(diǎn)分別在△ABC的三邊上，設(shè)ED=x．
（1）陰影部分面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）x取何值時(shí)，平行四邊形DEFC的面積有最大值或最小值？其最值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）由BC與BC邊上的高，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積，由ED與BC平行，得到三角形AED與三角形ABC相似，由相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比表示出DE邊上的高，進(jìn)而確定出平行四邊形EFCD邊上的高，由底乘以高表示出平行四邊形的面積，由三角形ABC面積減去平行四邊形面積即可確定出陰影部分面積y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出陰影部分面積的最小值，進(jìn)而求出平行四邊形面積的最大值即可．

解答：解：（1）∵△ABC的BC邊上的高為12，BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×12=36，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
設(shè)△AED邊ED上的高為h，
∴

ED

BC

=

h

12

，即

x

6

=

h

12

，
∴h=2x，
∴平行四邊形EDCF的高為12-2x，
∴S_{平行四邊形EDCF}=x（12-2x）=-2x²+12x，
則y=36-（12x-2x²）=2x²-12x+36；
（2）∵y=2x²-12x+36，a=2＞0，
∴y有最小值，即平行四邊形EDCF面積有最大值，
∴當(dāng)x=-

b

2a

=3時(shí)，y有最小值

4ac-b2

4a

=18，
則此時(shí)S_{平行四邊形EDCF}取得最大值36-18=18．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．