Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（﹣1，0）兩點，過點A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點C；

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點A關(guān)于直線y=2x的對稱點A′的坐標，判定點A′是否在拋物線上，并說明理由；
（3）點P是拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交線段CA′于點M，是否存在這樣的點P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y= x2+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（﹣1，0）兩點，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y= x2﹣x﹣

（2）

解：如答圖所示，過點A′作A′E⊥x軸于E，AA′與OC交于點D，

∵點C在直線y=2x上，

∴C（5，10）

∵點A和A′關(guān)于直線y=2x對稱，

∴OC⊥AA′，A′D=AD．

∵OA=5，AC=10，

∴OC= = = ．

∵S△OAC= OCAD= OAAC，

∴AD= ．

∴AA′= ，

在Rt△A′EA和Rt△OAC中，

∵∠A′AE+∠A′AC=90°，

∠ACD+∠A′AC=90°，

∴∠A′AE=∠ACD．

又∵∠A′EA=∠OAC=90°，

∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．

∴ ，

即 ．

∴A′E=4，AE=8．

∴OE=AE﹣OA=3．

∴點A′的坐標為（﹣3，4），

當x=﹣3時，

y= ×（﹣3）2+3﹣ =4．

所以，點A′在該拋物線上

（3）

解：存在．

理由：設(shè)直線CA′的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得

∴直線CA′的解析式為y= x+

設(shè)點P的坐標為（x， x2﹣x﹣ ），則點M為（x， x+ ）．

∵PM∥AC，

∴要使四邊形PACM是平行四邊形，只需PM=AC．又點M在點P的上方，

∴（ x+ ）﹣（ x2﹣x﹣ ）=10．

解得x1=2，x2=5（不合題意，舍去）

當x=2時，y=﹣ ．

∴當點P運動到（2，﹣ ）時，四邊形PACM是平行四邊形

【解析】方法一：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）首先求出對稱點A′的坐標，然后代入拋物線解析式，即可判定點A′是否在拋物線上．本問關(guān)鍵在于求出A′的坐標．如答圖所示，作輔助線，構(gòu)造一對相似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似關(guān)系、對稱性質(zhì)、勾股定理，求出對稱點A′的坐標；（3）本問為存在型問題．解題要點是利用平行四邊形的定義，列出代數(shù)關(guān)系式求解．如答圖所示，平行四邊形的對邊平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長度，然后列方程求解．
【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．