【題目】如圖1,點E在矩形ABCD的邊AD上,AD=6,tan∠ACD=,連接CE,線段CE繞點C旋轉90°,得到線段CF,以線段EF為直徑做⊙O.
(1)請說明點C一定在⊙O上的理由;
(2)點M在⊙O上,如圖2,MC為⊙O的直徑,求證:點M到AD的距離等于線段DE的長;
(3)當△AEM面積取得最大值時,求⊙O半徑的長;
(4)當⊙O與矩形ABCD的邊相切時,計算扇形OCF的面積.
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析;(3);(4)4π.
【解析】
(1)連接OC,由旋轉的性質得出∠ECF=90°,由直角三角形斜邊的中線的性質得出OC=OE=OF,即可得出點C一定在⊙O上;
(2)易證EM=CE,過點M作MN⊥AD于N,由AAS證得△MEN≌△CED,得出MN=DE,即可得出結論;
(3)設AE=x,則DE=6﹣x,由(2)得點M到AD的距離等于線段DE的長,則S△AEM=×x×(6﹣x)=﹣(x﹣3)2+,當x=3時,△AEM面積取得最大值,此時,DE=3,由tan∠ACD==,得出CD=4,由勾股定理得CE2=DE2+CD2,求出CE=5,易證∠CEF=45°,在Rt△CEF中,由EF=,即可得出結果;
(4)當⊙O與矩形ABCD的邊相切時,只有點O與點D重合時存在,此時⊙O半徑r=CD=4,∠COF=90°,由扇形面積公式即可得出結果
(1)解:點C一定在⊙O上的理由如下:
連接OC,如圖所示:
由旋轉的性質得:∠ECF=90°,
∵EF是⊙O的直徑,O為圓心,
∴OE=OF,
∴OC=OE=OF,
∴點C一定在⊙O上;
(2)證明:由旋轉的性質得:∠ECF=90°,CE=CF,
∵OE=OF,
∴CO⊥EF,
∵MC為⊙O的直徑,
∴CM⊥EF,OC=OM,∠MEC=90°,
∴EM=CE,
過點M作MN⊥AD于N,如圖所示:
∵∠DEC+∠DCE=90°,∠DEC+∠DEM=90°,
∴∠DEM=∠DCE,
在△MEN和△CED中,,
∴△MEN≌△CED(AAS),
∴MN=DE,即點M到AD的距離等于線段DE的長;
(3)解:∵點E在矩形ABCD的邊AD上,AD=6,
∴∠D=90°,設AE=x,則DE=6﹣x,
由(2)得:點M到AD的距離等于線段DE的長,
∴S△AEM=×x×(6﹣x)=﹣x2+3x=﹣(x﹣3)2+,
∴當x=3時,△AEM面積取得最大值,
此時,DE=6﹣3=3,
∵tan∠ACD==,
∴CD==4,
由勾股定理得:CE2=DE2+CD2,即CE2=32+42,
∴CE=5,
由(2)得:CM⊥EF,OC=OM,∠MEC=90°,
∴∠CEF=45°,
在Rt△CEF中,EF===5,
∴⊙O半徑的長為;
(4)當⊙O與矩形ABCD的邊相切時,只有點O與點D重合時存在,此時⊙O半徑r=CD=4,∠COF=90°,S扇OCF==4π.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中(如圖),已知二次函數(其中a、b、c是常數,且a≠0)的圖像經過點A(0,-3)、B(1,0)、C(3,0),聯(lián)結AB、AC.
(1)求這個二次函數的解析式;
(2)點D是線段AC上的一點,聯(lián)結BD,如果,求tan∠DBC的值;
(3)如果點E在該二次函數圖像的對稱軸上,當AC平分∠BAE時,求點E的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某中學進行基于學生核心素養(yǎng)課程體系的開發(fā),學校計劃開設:藝術、武術、書法、科技共四門選修課,并開展了以“你最想參加的選修課是哪門?(必選且只選一門選修課)”為主題的調查活動,在全校范圍內隨機抽取部分學生進行問卷調查,將調查結果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖.請你根據統(tǒng)計圖的信息回答下列問題:
(1)本次調查共抽取了多少名學生?
(2)分別求出參加調查的學生中選擇武術和書法選修課的人數,并補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學共有 1600 名學生,請你估計該中學選擇科技選修課的學生大約有多少名.
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【題目】已知:Rt△ABC,∠C=90°.
(1)點E在BC邊上,且△ACE的周長為AC+BC,以線段AE上一點O為圓心的⊙O恰與AB、BC邊都相切.請用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點E、O的位置;
(2)若BC=8,AC=4,求⊙O的半徑.
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【題目】在一個不透明的口袋中放入個大小形狀幾乎完全相同實驗用的雞蛋,雞蛋的質量有微小的差距(用手感覺不到差異),質量分別為、、克,已知隨機的摸出一個雞蛋,摸到克和克的雞蛋的概率是相等的.
(1)求這四個雞蛋質量的眾數和中位數
(2)小明做實驗需要拿走一個雞蛋,芳芳在小明拿走后從剩下的三個雞蛋中隨機的拿走一個
①通過計算分析小明拿走一個雞蛋后,剩下的三個雞蛋質量的中位數是多少?
②假設小明拿走的雞蛋質量為克,芳芳隨機的拿出一個雞蛋后又放回,之后再隨機的拿出一個雞蛋,請用樹狀圖求芳芳兩次拿到都是克的雞蛋的概率?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數的圖象經過點,直線與軸交于點.
(1)求的值及點的坐標;
(2)直線與函數的圖象交于點,記圖象在點,之間的部分與線段,,圍成的區(qū)域(不含邊界)為.
①當時,直接寫出區(qū)域內的整點個數;
②若區(qū)域內恰有2個整點,結合函數圖象,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,,, ,...都是等腰直角三角形,其直角頂點,,,...均在直線上,設,,,...的面積分別為,,,...,依據圖形所反映的規(guī)律,S2020=__________.
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【題目】小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤島,媽媽在孤島P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船(如圖所示).小船從P處出發(fā),沿北偏東60°方向劃行200米到A處,接著向正南方向劃行一段時間到B處.在B處小亮觀測到媽媽所在的P處在北偏西37°的方向上,這時小亮與媽媽相距多少米(精確到1米)?
(參考數據:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【題目】如圖,拋物線與軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),直線與拋物線交于兩點,其中點的橫坐標為2.
(1)求A,B兩點的坐標及直線AC的表達式;
(2)P是線段AC上一動點(P與A,C不重合),過點P作軸的平行線交拋物線于點E,求面積的最大值;
(3)點H是拋物線上一動點,在軸上是否存在點F,使得四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在請直接寫出所有滿足條件的點F坐標;如果不存在,請說明理由.
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