Question

1．如圖所示，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，CD∥AB交⊙O于D，∠P=40°．
（1）求∠CAB的度數(shù)．
（2）求證：四邊形ABCD是矩形．
（3）如果PA=13，CD=10，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）首先求出∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（2）由△ACB≌△CAD，推出AB=CD，由AB∥CD，推出四邊形ABCD是平行四邊形，由∠D=90°，即可解決問(wèn)題．
（3）在RT△APE中，利用勾股定理求出PE，再由△PAE∽△POA求出OA即可解決問(wèn)題．

解答 （1）解：連接OB，
∵PA、PB是切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=360°-40°-90°-90°=140°，
∵OA=OB，
∴∠CAB=∠OBA=（180°-∠AOB）÷2=20°．

（2）證明：∵AC是⊙O直徑，
∴∠CBA=∠D=90°，
∵AB∥CD，
∠CAB=∠ACO，
∵AC=CA，
∴△CAB≌△ACD，
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠D=90°，
∴四邊形ABCD是矩形．

（3）解：連接PO交AB于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，
∵PA、PB是切線，
∴PA=PB，∠APO=∠OPB，
∴OP⊥AB，AE=EB=5，
∴∠PEA=90°，
∴PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴∠OAB=∠AEP=90°，∠OPA=∠APE，
∴△OPA∽△APE，
∴$\frac{OA}{AE}$=$\frac{PA}{PE}$，
∴$\frac{OA}{5}$=$\frac{13}{12}$，
∴OA=$\frac{65}{12}$，
∴⊙O的直徑AC=2OA=$\frac{65}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、矩形、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形判定的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．