【題目】如圖,已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C,∠A=28°.
(1)求∠ACM的度數(shù);
(2)在MN上是否存在一點D,使ABCD=ACBC,為什么?
【答案】(1)∠ACM=62°;(2)存在符合條件的點D,使ABCD=ACBC,理由見解析.
【解析】
(1)求∠ACM 的度數(shù),需求出∠B 的度數(shù);在 中,已知∠A 的度數(shù),即可求出∠B 、∠ACM 的度數(shù);
(2)乘積的形式通?梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式:
① ,此時需證 ,那么過B作MN的垂線,那么垂足即為符合條件的D點;
②,此時需證,則過A作MN的垂線,垂足也符合D點的條件.
兩者的證明過程一致,都是通過弦切角得出一組對應(yīng)角相等,再加上一組直角得出三角形相似.
(1)∵AB是半圓的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣∠A=62°,
∵直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點C,
∴∠ACM=∠B=62°;
(2)存在符合條件的點D,使ABCD=ACBC,
①過A作AD⊥MN于D,則ABCD=ACBC,
證明:∵MN是半圓的切線,且切點為C,
∴∠ACD=∠B,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD,
∴,
即ABCD=ACBC;
②過B作BD⊥MN于D,則ABCD=ACBC,
證明過程同①,
因此MN上存在至少一點D,使ABCD=ACBC.
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【題目】已知:拋物線y=mx2+(m﹣2)x﹣2m+2(m≠0).
(1)求證:拋物線與x軸有交點;
(2)若拋物線與x軸交于點A(x1,0),B(x2,0),點A在點B的右側(cè),且x1+2x2=1.
①求m的值;
②點P在拋物線上,點G(n,﹣n﹣),求PG的最小值.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對角線AC繞對角線交點O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點E、F,點P是邊DC上的一個動點,且保持DP=AE,連接PE、PF,設(shè)AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= ;(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運動過程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請說明理由.
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【題目】如圖是“明清影視城”的一扇圓弧形門,小紅到影視城游玩,他了解到這扇門的相關(guān)數(shù)據(jù):這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,且AB.CD與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù),請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是( )
A.2米 B.2.5米 C.2.4米 D.2.1米
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點O在邊AB上,以點O為圓心,OA為半徑的圓經(jīng)過點C,過點C作直線MN,使∠BCM=2∠A.
(1)判斷直線MN與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若OA=4,∠BCM=60°,求圖中陰影部分的面積.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,以點O為圓心的圓分別交x軸的正半軸于點M,交y軸的正半軸于點N.劣弧的長為,直線與x軸、y軸分別交于點A、B.
(1)求證:直線AB與⊙O相切;
(2)求圖中所示的陰影部分的面積(結(jié)果用π表示)
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【題目】如圖,已知拋物線的頂點為A(1,4),拋物線與y軸交于點B(0,3),與x軸交于C、D兩點.點P是x軸上的一個動點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求C、D兩點坐標及△BCD的面積;
(3)若點P在x軸上方的拋物線上,滿足S△PCD=S△BCD,求點P的坐標.
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【題目】如圖所示,的直徑,點是延長線上的一點,過點作的切線,切點為,連接.
(1)若,求的長;
(2)若點在的延長線上運動,的平分線交于點,你認為的大小是否發(fā)生變化?若變化,請說明理由;若不變化,求出的大小.
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【題目】順次連接平面直角坐標系xOy中,任意的三個點P,Q,G.如果∠PQG=90°,那么稱∠PQG為“黃金角”.
已知:點A(0,3),B(2,3),C(3,4),D(4,3).
(1)在A,B,C,D四個點中能夠圍成“黃金角”的點是 ;
(2)當時,直線y=kx+3(k≠0)與以OP為直徑的圓交于點Q(點Q與點O,P不重合),當∠OQP是“黃金角”時,求k的取值范圍;
(3)當P(t,0)時,以OP為直徑的圓與△BCD的任一邊交于點Q,當∠OQP是“黃金角”時,求t的取值范圍.
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