Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形AEDF的三個頂點E（1，0），D（3，0），F(xiàn)（3，-4），以A為頂點的拋物線y=ax²+bx+c過點D，與y軸交于點B，與x軸交于點C，D（C點在D點的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖甲，若線段AE上一動點P從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒1個單位向點E運動，運動時間為t秒，過點P作PM⊥AE交AD于點M，過點M作MN⊥AF于N，交拋物線于點G，當(dāng)t為何值時，△ADG的面積最大？最大值為多少？
（3）如圖乙，在直線l：y=x-5上存在一點P．
①當(dāng)點P的坐標為

 

時，以點P，A，B，D為頂點的四邊形是矩形；
②當(dāng)點P的坐標為

 

時，以點P，A，B，D為頂點的四邊形是非特殊平行四邊形．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)寫出點A的坐標，再設(shè)出頂點式解析式并把點D的坐標代入求解即可；
（2）根據(jù)△APM和△AED相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出PM，從而求出點M的橫坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，根據(jù)拋物線與直線AD的解析式表示出MG，再根據(jù)S_△ADG=S_△AMG+S_△DMG列式整理，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）先求出點B的坐標，直線BD的解析式，①根據(jù)點A、B、D的坐標求出∠ABD=90°，再根據(jù)矩形的性質(zhì)，BD向右平移一個單位，向下平移一個單位，點D對應(yīng)點的位置即為點P的位置；
②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，BD向左平移2個單位，向下平移4個單位，點B對應(yīng)點的位置即為點P的位置．

解答：解：（1）∵矩形AEDF的頂點E（1，0），F(xiàn)（3，-4），
∴點A的坐標為（1，-4），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
將點D（3，0）代入得，a（3-1）²-4=0，
解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；

（2）∵點P的運動速度為每秒1個單位，
∴AP=t，
∵PM⊥AE，DE⊥AE，
∴△APM∽△AED，
∴

PM

DE

=

AP

AE

，
即

PM

3-1

=

t

4

，
解得PM=

t

2

，
∴點M的橫坐標為1+

t

2

，
∵MN⊥AF，
∴點G的橫坐標為1+

t

2

，
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=-4 3k+b=0

，
解得

k=2 b=-6

，
∴直線AD的解析式為y=2x-6，
∴MG=[2（1+

t

2

）-6]-[（1+

t

2

-1）²-4]，
=2+t-6-

t2

4

+4，
=-

t2

4

+t，
∴S_△ADG=S_△AMG+S_△DMG，
=

1

2

MG•DE，
=

1

2

×（-

t2

4

+t）×2，
=-

t2

4

+t，
=-

1

4

（t-2）²+1，
∵-

1

4

＜0，
∴當(dāng)t=2時，△ADG的面積最大，最大值為1；

（3）令x=0，則y=-3，
∴點B（0，-3），
易求直線BD的解析式為y=x-3，
①∵A（1，-4），D（3，0），
∴∠ABD=180°-45°×2=90°，
∴BD向右平移一個單位，向下平移一個單位，點D的對應(yīng)點即為點P，
∴點P（4，-1）；
②BD向左平移2個單位，向下平移4個單位，點B的對應(yīng)點即為點P，
∴點P為（-2，-7）．
故答案為：（4，-1）；（-2，-7）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的面積，（2）求出MG的長是解題的關(guān)鍵，（3）利用平移點的性質(zhì)求解更加簡便．