Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且∠CBF=

1

2

∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB=5，BC=2

5

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接AE．欲證BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可；
（2）利用已知條件證得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得線段的長(zhǎng)即可．

解答：（1）證明：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴∠1=

1

2

∠CAB．
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線．

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG，解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G．
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=

AB2-BE2

=2

5

，
∴sin∠2=

AE

AB

=

2 5

5

，cos∠2=

BE

AB

=

5

5

，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴

GC

BF

=

AG

AB

∴BF=

GC•AB

AG

=

20

3

∴AF=

25

3

，
∴BD=

12

3

∴AD=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．