Question

某公司生產(chǎn)一種新型節(jié)能電水壺并加以銷(xiāo)售，現(xiàn)準(zhǔn)備在甲城市和乙城市兩個(gè)不同地方按不同銷(xiāo)售方案進(jìn)行銷(xiāo)售，以便開(kāi)拓市場(chǎng)．
若只在甲城市銷(xiāo)售，銷(xiāo)售價(jià)格為y（元/件）、月銷(xiāo)量為x（件），y是x的一次函數(shù)

月銷(xiāo)量x（件）	1500	2000
銷(xiāo)售價(jià)格y（元/件）	185	180

成本為50元/件，無(wú)論銷(xiāo)售多少，每月還需支出廣告費(fèi)72500元，設(shè)月利潤(rùn)為W_甲（元）（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本-廣告費(fèi)）．
若只在乙城市銷(xiāo)售，銷(xiāo)售價(jià)格為200 元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數(shù)，40≤a≤70），當(dāng)月銷(xiāo)量為x（件）時(shí)，每月還需繳納

1

100

x2元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤(rùn)為W_乙（元）（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本-附加費(fèi)）．
（1）當(dāng)x=1000 時(shí)，y=

 

元/件，w _甲=

 

元；
（2）分別求出W_甲，W_乙與x間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)x的取值范圍）；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，在甲城市銷(xiāo)售的月利潤(rùn)最大？若在乙城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值與在甲城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值相同，求a 的值；
（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷(xiāo)售完，請(qǐng)你通過(guò)分析幫公司決策，選擇在甲城市還是在乙城市銷(xiāo)售才能使所獲月利潤(rùn)較大？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題

分析：（1）設(shè)y=kx+b，將表格中的兩點(diǎn)代入可確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，令x=1000，可得出y；根據(jù)銷(xiāo)量及售價(jià)，可得出w_甲；
（2）根據(jù)甲城市的銷(xiāo)售方法可得出w_甲與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意所述乙城市的銷(xiāo)售方法，可得出W_乙與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）利用配方法可求出甲的利潤(rùn)最大值，由在乙城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值與在甲城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值相同，可得出關(guān)于a的方程，解出即可；
（4）計(jì)算出x=5000時(shí)，兩城市銷(xiāo)售的利潤(rùn)，然后利用不等式的知識(shí)進(jìn)行作答即可．

解答：解：（1）設(shè)y_甲=kx+b，將點(diǎn)（1500，185），（2000，180）代入可得：

1500k+b=185 2000k+b=180

，
解得：

k=- 1 100 b=200

，
則設(shè)y_甲=-

1

100

x+200，
當(dāng)x=1000時(shí)，y=190元/件；
w_甲=x（y-50）=1000×（140）-72500=67500元；
（2）w_甲=x（y-50）-72500=-

1

100

x²+150x-72500；
w_乙=-

1

100

x²+（200-a）x；
（3）w_甲=-

1

100

x²+150x-72500=-

1

100

（x-7500）²+490000；
當(dāng)x=7500時(shí)，w_甲取得最大；
若在乙城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值與在甲城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值相同，則可得490000=

0-(200-a)2

4×(- 1 100 )

，
解得：a₁=60，a₂=340（不合題意，舍去）．
答：當(dāng)x=7500時(shí)，w_甲最大，若在乙城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值與在甲城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值相同，a的值為60元/件．
（4）當(dāng)x=5000時(shí)，w_甲=427500，w_乙=-5000a+750000，
若w_甲＜w_乙，則a＜64.5；
若w_甲=w_乙，則a=64.5；
若w甲＞w乙，則a＞64.5；
所以，當(dāng)40≤a＜64.5時(shí)，選擇在乙銷(xiāo)售；
當(dāng)a=64.5時(shí)，在甲和乙銷(xiāo)售都一樣；
當(dāng)64.5＜a≤70時(shí)，選擇在甲銷(xiāo)售．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際，利用函數(shù)知識(shí)解題，難度一般．