Question

如圖，已知：如圖①，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，兩動點(diǎn)D、E分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動到O點(diǎn)停止）；對稱軸過點(diǎn)A且頂點(diǎn)為M的拋物線（a＜0）始終經(jīng)過點(diǎn)E，過E作EG∥OA交拋物線于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DE、DF、AG、BG．設(shè)D、E的運(yùn)動速度分別是1個(gè)單位長度/秒和個(gè)單位長度/秒，運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADEF是菱形？判斷此時(shí)△AFG與△AGB是否相似，并說明理由；

（3）當(dāng)△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點(diǎn)M恰好在BG上時(shí)，求拋物線的解析式．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）在直線解析式中，令x=0，得y=；令y=0，得x=1。

∴A（1，0），B（0，），OA=1，OB=。

∴tan∠OAB=�！唷螼AB=60°。∴AB=2OA=2。

∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°。

∴，BF=2EF=2t。

∴AF=AB﹣BF=2﹣2t。

（2）①∵EF∥AD，且EF=AD=t，∴四邊形ADEF為平行四邊形。

若ADEF是菱形，則DE=AD=t．

由DE=2OD，即：t=2（1﹣t），解得t=。

∴t=時(shí)，四邊形ADEF是菱形。

②此時(shí)△AFG與△AGB相似。理由如下：

如答圖1所示，連接AE，

∵四邊形ADEF是菱形，

∴∠DEF=∠DAF=60°�！唷螦EF=30°。

由拋物線的對稱性可知，AG=AE。

∴∠AGF=∠AEF=30°。

在Rt△BEG中，BE=，EG=2，

∴。∴∠EBG=60°。

∴∠ABG=∠EBG﹣∠EBF=30°。

在△AFG與△AGB中，∵∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，

∴△AFG∽△AGB。

（3）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，

①若∠ADF=90°，如答圖2所示，

此時(shí)AF=2DA，即2﹣2t=2t，解得t=。

∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。

∴E（0，），G（2，）。

設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，

將B（0，），G（2，）代入得：

，解得。

∴直線BG的解析式為。

令x=1，得，∴M（1，）。

設(shè)拋物線解析式為，

∵點(diǎn)E（0，）在拋物線上，

∴，解得。

∴拋物線解析式為，即。

②若∠AFD=90°，如答圖3所示，

此時(shí)AD=2AF，即：t=2（2﹣2t），解得：t=。

∴BE=t=，OE=OB﹣BE=。

∴E（0，），G（2，）。

設(shè)直線BG的解析式為y=k₁x+b₁，

將B（0，），G（2，）代入得：

，解得。

∴直線BG的解析式為。

令x=1，得y=，∴M（1，）。

設(shè)拋物線解析式為，

∵點(diǎn)E（0，）在拋物線上，

∴，解得。

∴拋物線解析式為，即。

綜上所述，符合條件的拋物線的解析式為：或

【解析】

試題分析：（1）首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的長。

（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，則四邊形ADEF為平行四邊形，若▱ADEF是菱形，則DE=AD=t．由DE=2OE，列方程求出t的值；

如答圖1所示，推出∠BAG=∠GAF，∠ABG=∠AGF=30°，證明△AFG與△AGB相似。

（3）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，有兩種情形，需要分類討論：

①若∠ADF=90°，如答圖2所示．首先求出此時(shí)t的值；其次求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，最后利用頂點(diǎn)式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。

②若∠AFD=90°，如答圖3所示，解題思路與①相同。