Question

14．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）若反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn)，求a的值；
（2）若△OPQ是以O(shè)Q為底的等腰直角三角形，求a的值；
（3）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（4）當(dāng)P點(diǎn)、Q點(diǎn)中一點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，PQ=2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意表示出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答；
（2）證明△OCP≌△PBQ，得到BP=OC=8，求出CP和AQ的長，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)列出算式，計(jì)算即可；
（4）分P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)和Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)兩種情況，根據(jù)矩形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）∵A（10，0），C（0，8），點(diǎn)P在邊BC上以每秒1個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q在邊AB上以每秒a個(gè)單位長的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，
∴P（t，8），Q（10，at），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$圖象經(jīng)過P點(diǎn)、Q點(diǎn)，
∴8t=10at，
解得a=0.8；
（2）如圖（1），∵△OPQ是以O(shè)Q為底的等腰直角三角形，
∴∠OPQ=90°，OP=PQ，
∴∠OPC+∠BPQ=90°，
∵四邊形OABC為矩形，
∴∠OCP=∠B=90°，
∴∠COP+∠OPC=90°，
∴∠COP=∠BPQ，
在△OCP和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OCP=∠B}\\{∠COP=∠BPQ}\\{OP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△PBQ（AAS），
∴BP=OC=8，
∴CP=BC-BP=2，AQ=AB-BQ=6，
∴a=$\frac{6}{2}$=3；
（3）∵OQ垂直平分AP，
∴OP=OA，PQ=QA，
∴$\sqrt{{t}^{2}+{8}^{2}}$=10，
解得t=6，
∴Q（10，6a），P（6，8），
∵PQ=QA，
∴（10-6）²+（6a-8）²=（6a）²，
解得a=$\frac{5}{6}$；
（4）當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，PQ=2時(shí)，AQ=8-2=6，
則a=$\frac{6}{10}$=0.6，
當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，PQ=2時(shí)，CP=8-2=6，AB=6，
則a=$\frac{6}{6}$=1，
答：a的值為1或0.6．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、熟記線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．