Question

19．在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，連接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如圖1所示，若點(diǎn)P在線段AB上，且∠α=60°，則∠1+∠2=150°（答案直接填在題中橫線上）；
（2）如圖2所示，若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為有何數(shù)量關(guān)系；猜想結(jié)論并說明理由；
（3）如圖3所示，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長線上，則∠α、∠1、∠2之間有何數(shù)量關(guān)系？請先補(bǔ)全圖形，再猜想并直接寫出結(jié)論（不需說明理由．）

Answer 1

分析 （1）∠DPE的鄰補(bǔ)角為120°，∠C的鄰補(bǔ)角為90°，由四邊形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的鄰補(bǔ)角為180°-∠α，∠C的鄰補(bǔ)角為90°，由四邊形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化簡即可得出答案；
（3）根據(jù)題意畫出圖形可知，∠CFE是△DPF的外角，根據(jù)外角性質(zhì)可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根據(jù)外角性質(zhì)可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根據(jù)以上兩個(gè)等式即可得出∠α、∠1、∠2之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）150°

（2）∠DPE的鄰補(bǔ)角為180°-∠α，
∠C的鄰補(bǔ)角為90°，
∵∠1與∠2是四邊形DPEC的外角，
∴由四邊形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α

（3）如圖3所示，
∠2=90°+∠α+∠1；
理由如下：設(shè)PE交BC于點(diǎn)F，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．

點(diǎn)評 本題考查四邊形的外角和，涉及三角形的外角性質(zhì)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．