Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，點D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，將正方形沿x軸負(fù)方向平移a個單位長度后，點C恰好落在該雙曲線上，則a的值是2．

Answer 1

分析 過點D作DE⊥x軸于點E，通過證△OAB≌△EDA得出OA=ED，OB=EA，再由直線的解析式為y=-3x+3可得出點A、B的坐標(biāo)，從而得出OA、OB、DE、AE的長，即得出點D的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、D的坐標(biāo)結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出點C的坐標(biāo)，由點D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出雙曲線的解析式，將點C的縱坐標(biāo)代入到雙曲線解析式中求出x的值，用點C的橫坐標(biāo)減去x的值即可得出a的值．

解答 解：過點D作DE⊥x軸于點E，如圖所示．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴BAD=90°，AB=AD，
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠EAD=90°，
∴∠OBA=∠EAD．
在△OAB和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAD}\\{∠AOB=∠DEA=90°}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴OA=ED，OB=EA．
令一次函數(shù)y=-3x+3中x=0，則有y=3，
即點B的坐標(biāo)為（0，3）；
令一次函數(shù)y=-3x+3中y=0，則有-3x+3=0，解得：x=1，
即點A的坐標(biāo)為（1，0）．
∴ED=OA=1，OE=OA+AE=OA+OB=1+3=4，
∴點D的坐標(biāo)為（4，1）．
將點D（4，1）代入到雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中得：1=$\frac{k}{4}$，
解得：k=4，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{4}{x}$．
∵點A（1，0）、點B（0，3）、點D（4，1），且四邊形ABCD為正方形，
∴點C的坐標(biāo)為（3，4）．
令雙曲線y=$\frac{4}{x}$中y=4，則4=$\frac{4}{x}$，解得：x=1，
∴當(dāng)點C平移到點（1，4）時，點C在雙曲線上，
∴a=3-1=2．
故答案為：2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、全等三角形的判定及性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點C的坐標(biāo)和雙曲線的解析式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過全等找出點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．