【題目】如圖,已知在四邊形ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,AE=CF,BF=DE.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
證明:證法一:∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.
又∵AE⊥BD,CF⊥BD.
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∵在△ABE和△CDF中,BE=DF,∠AEB=∠CFD,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AB=CD.
∵在△ADE和△CBF中,AE=CF,∠AED=∠BFC=90°,DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS),∴AD=BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形).
證法二:同證法一,得△ABE≌△CDF,
∴∠ABE=∠CDF,
∴AB∥CD.同理可證:AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形).
證法三:同證法一,得△ABE≌△CDF,
∴AB=CD,∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形).
證法四:連接AC,交BD于點(diǎn)O.
∵∠AEO=∠CFO=90°,∠AOE=∠COF,AE=CF.
∴△AOE≌△COF(AAS),∴AO=CO,EO=FO.
∵BF=DE,∴BE=DF,∴BE+EO=DF+FO,即BO=DO.
∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=90°,以O為頂點(diǎn)、OB為一邊畫(huà)∠BOC,然后再分別畫(huà)出∠AOC與∠BOC的平分線OM、ON.
(1)在圖1中,射線OC在∠AOB的內(nèi)部.
①若銳角∠BOC=30°,則∠MON= °;
②若銳角∠BOC=n°,則∠MON= °.
(2)在圖2中,射線OC在∠AOB的外部,且∠BOC為任意銳角,求∠MON的度數(shù).
(3)在(2)中,“∠BOC為任意銳角”改為“∠BOC為任意鈍角”,其余條件不變,(圖3),求∠MON的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=CD,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,且BE=DF=AD,聯(lián)結(jié)DE,聯(lián)結(jié)AF、BF分別與DE交于點(diǎn)G、P.
(1)求證:AB=BF;
(2)如果BE=2EC,求證:DG=GE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,點(diǎn)M是CE的中點(diǎn),連接BM.
(1)如圖①,點(diǎn)D在AB上,連接DM,并延長(zhǎng)DM交BC于點(diǎn)N,可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為______________;
(2)如圖②,點(diǎn)D不在AB上,(1)中的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)G,點(diǎn)F是CD上一點(diǎn),且滿足 ,連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E,連接AD、DE,若CF=3,AF=4.
(1)求證:△ADF∽△AED;
(2)求FG的長(zhǎng);
(3)求tan∠E的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班計(jì)劃購(gòu)買籃球和排球若干個(gè),買4個(gè)籃球和3個(gè)排球需要410元;買2個(gè)籃球和5個(gè)排球需要310元.
(1)籃球和排球單價(jià)各是多少元?
(2)若兩種球共買30個(gè),費(fèi)用不超過(guò)1700元,籃球最多可以買多少個(gè)?
(3)如果購(gòu)買這兩種球剛好用去520元,問(wèn)有哪幾種購(gòu)買方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】作圖題:
(1)如圖,在平面內(nèi)有不共線的3個(gè)點(diǎn)A,B,C.
(a)作直線AB,射線AC,線段BC;
(b)延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接AD;
(c)作線段AB的中點(diǎn)E,連接CE;
(d)測(cè)量線段CE和AD的長(zhǎng)度,直接寫(xiě)出二者之間的數(shù)量關(guān)系_______.
(2) 有5個(gè)大小一樣的正方形制成如圖所示的拼接圖形(陰影部分),請(qǐng)你在圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形,使新拼接成的圖形經(jīng)過(guò)折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子.
注意:只需添加一個(gè)符合要求的正方形,并用陰影表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料:
問(wèn)題:如圖1,在平行四邊形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),AE=AB,∠EAB=60°,過(guò)點(diǎn)E作直線EF,在EF上取一點(diǎn)G,使得∠EGB=∠EAB,連接AG.
求證:EG =AG+BG.
小明同學(xué)的思路是:作∠GAH=∠EAB交GE于點(diǎn)H,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過(guò)推理解決問(wèn)題.
參考小明同學(xué)的思路,探究并解決下列問(wèn)題:
(1)完成上面問(wèn)題中的證明;
(2)如果將原問(wèn)題中的“∠EAB=60°”改為“∠EAB=90°”,原問(wèn)題中的其它條件不變(如圖2),請(qǐng)?zhí)骄烤段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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