Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，且AB=AC．點B到x軸的距離為3．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）點P為射線CB上一點，過點P作PE垂直AC于E，點P到AB的距離為d，求PE與d的數(shù)量關(guān)系；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)d=1時，點Q在C的右側(cè)且Q（4，0），過點Q作x軸的垂線m，連接PQ，過點E作PQ的垂線交PQ于點K并延長，交直線m于第一象限內(nèi)的點F，當(dāng)PQ×EK=20時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征和點B到x軸的距離為3，可求B的坐標(biāo)；
（2）如圖1所示：過點B作BN⊥PE，垂足為N．先證明∠PNB=∠M，∠PBM=∠PBN，然后依據(jù)AAS證明△PNB≌△PMB，于是得到PM=PN，從而可證得PE-d=3．如圖2所示：過點B作x軸的線，交EP的延長線與點N；先證明∠PMB=∠N，∠MBP=∠NBP，依據(jù)AAS證明△MPB≌△NPB，從而得到PM=PN，故此可證得PE+d=3．綜上所示，當(dāng)點P在線段BC上時，PE+d=3，當(dāng)點P在CB的延長線上時，PE-d=3；
（3）如圖3所示：由PE-d=3，d=1，可求得PE=4，由PE•EQ=PQ•EK=20，可求得：QE=5，從而求得點Q的坐標(biāo)為（4，0），故此點P的坐標(biāo)為（-1，4）；如圖4所示：由PE+d=3，d=1，可知PE=2，從而可求得：QE=10，從而得到點P的坐標(biāo)為（-6，2），因為當(dāng)點P在BC時，點P在y軸右側(cè)，橫坐標(biāo)大于0，故此種情況不成立．

解答 解：（1）∵點B到x軸的距離為3，
∴點B的縱坐標(biāo)為3．
∵點B在y軸上，
∴點B的橫坐標(biāo)為0．
∴點B的坐標(biāo)為（0，3）．
（2）如圖1所示：過點B作BN⊥PE，垂足為N．

∵BN⊥PE，PM⊥AB，
∴∠PNB=∠M．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵NB⊥PE，PE⊥OE，
∴NB∥OE．
∴∠PBN=∠BCA．
又∵∠PBM=∠ABC，
∴∠PBM=∠PBN．
在△PNB和△PMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠M}\\{∠PBM=∠PBN}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△PNB≌△PMB．
∴PM=PN．
∴PE-PM=PE-PN=EN=OB=3．
∴PE-d=3．
如圖2所示：過點B作x軸的線，交EP的延長線與點N．

∵BN∥x軸，PE⊥x軸，
∴∠N=90°．
∵PM⊥AB，
∴∠PMB=∠N．
∵NB∥OC，
∴∠NBC=∠BCO．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCA．
∴∠MBP=∠NBP．
在△MPB和△NPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMB=∠N}\\{∠MBP=∠NBP}\\{PB=PB}\end{array}\right.$，
∴△MPB≌△NPB．
∴PM=PN．
∵PE+PN=3，
∴PE+d=3．
綜上所示，當(dāng)點P在線段BC上時，PE+d=3，當(dāng)點P在CB的延長線上時，PE-d=3．
（3）如圖3所示：

∵點P在CB的延長線上，
∴PE-d=3．
又∵d=1，
∴PE=4．
∵$\frac{1}{2}$PE•EQ=$\frac{1}{2}$PQ•EK，
∴PE•EQ=PQ•EK=20．
∴4EQ=20．
解得：QE=5．
∵點Q的坐標(biāo)為（4，0），
∴點P的坐標(biāo)為（-1，4）．
如圖4所示：

∵點P在CB上，
∴PE+d=3．
又∵d=1，
∴PE=2．
∵$\frac{1}{2}$PE•EQ=$\frac{1}{2}$PQ•EK，
∴PE•EQ=PQ•EK=20．
∴2EQ=20．
解得：QE=10．
∵點Q的坐標(biāo)為（4，0），
∴點E的坐標(biāo)為（-6，0）．
∴點P坐標(biāo)為（-6，2）．
∵點P在BC上，故橫坐標(biāo)大于0，
∴此種情況不成立．
綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-1，4）．

點評 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積公式的應(yīng)用，證得△MPB≌△NPB從而得到PE與d的關(guān)系，然后由PE于d的關(guān)系求得PE的長，然后利用面積法求得QE的長是解題的關(guān)鍵．