Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，已知：點(diǎn)A（3，0）、B（-2，5）、C（0，-3）．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D是（1）中求出的拋物線的頂點(diǎn)，求tan∠CAD的值．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，再把三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）把（1）中的解析式配方得到頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-1）²-4，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），再利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出AC、CD、AD，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ACD為直角三角形，再利用正切的定義求解．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把點(diǎn)A（3，0）、B（-2，5）、C（0，-3）代入得

9a+3b+c=0 4a-2b+c=5 c=-3

，解得

a=1 b=-2 c=-3

，
所以拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
∵AD²=（3-1）²+（0+4）²=20，
CD²=（-3+4）²+（0-1）²=2，
AC²=（3-0）²+（0+3）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ACD為直角三角形，
∴tan∠CAD=

CD

AC

=

2

3 2

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了勾股定理及其逆定理．