Question

15．正方形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)F為正方形外一點(diǎn)，且滿足FB⊥BD，F(xiàn)A=AC，F(xiàn)A與CB交于點(diǎn)E．求證：CE=CF．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，由四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)B⊥BD，可得四邊形OBFH是矩形，即可得FH=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，又由FA=AC，可求得∠FAC=30°，即可求得∠CEF=∠AFC，繼而證得結(jié)論．

解答 證明：過點(diǎn)F作FH⊥AC于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵FB⊥BD，
∴四邊形OBFH是矩形，
∴FH=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵FA=AC，
∴∴FH=$\frac{1}{2}$AE，
∴∠FAH=30°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CEF=∠FAC+∠ACB=75°，
∵AF=AC，
∴∠AFC=∠ACF=75°，
∴∠CEF=∠AFC，
∴CE=CF．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．