Question

【題目】如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”.

（1）試分析28是否為“神秘數(shù)”；

（2）下面是兩個同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn)，請選擇一個“發(fā)現(xiàn)”，判斷真、假，并說明理由．

①小能發(fā)現(xiàn)：兩個連續(xù)偶數(shù)2k＋2和2k(其中k取非負(fù)整數(shù))構(gòu)造的“神秘數(shù)”也是4的倍數(shù)．

②小仁發(fā)現(xiàn)：2016是“神秘數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）28是“神秘數(shù)”（2）①是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍②2016不是“神秘數(shù)”

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)x，列出對應(yīng)方程x2－(x－2)2＝28，求解即可.

（2）根據(jù)小能的發(fā)現(xiàn)列式：(2k＋2)2－(2k)2化簡，觀察化簡后的式子是否為4的倍數(shù)即可檢驗真假；根據(jù)小仁的發(fā)現(xiàn)列式：y2－(y－2)2＝2 016求解，根據(jù)所得解即可檢驗真假.

(1)若28都是“神秘數(shù)”，設(shè)28是由x和x－2兩數(shù)的平方差得到的

則x2－(x－2)2＝28，解得：x＝8，

∴x－2＝6，

即28＝82－62，28是“神秘數(shù)”

(2)① (2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，

∴由2k＋2和2k構(gòu)造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍

或②設(shè)2 016是由y和y－2兩數(shù)的平方差得到的，

則y2－(y－2)2＝2 016，

解得：y＝505，不是偶數(shù)，

∴2 016不是“神秘數(shù)”.