如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,E為AB邊上一點(diǎn),∠BCE=15°,AE=AD.連接DE、AC交于F,連接BF.則有下列4個(gè)結(jié)論:
①△ACD≌△ACE;②△CDE為等邊三角形;③EF:BE=(
6
+
2
):2;④S△ECD:S△ECF=EC:EF.
其中正確的結(jié)論是( 。
分析:先證明△AED與△ABC是等腰直角三角形,再根據(jù)SAS即可證明△ACD≌△ACE,從而判斷①;
由①得出CD=CE,再證明∠DEC=60°,即可判斷②;
設(shè)EF=x,先解直角△ECF,得出CF=
3
x,則AC=(1+
3
)x,再由△ABC是等腰直角三角形,求出AB,從而可用含x的代數(shù)式表示BE,即可判斷③;
由于△ECD與△ECF同高,所以面積之比等于底之比,再根據(jù)②可知EC=ED,從而判斷④.
解答:解:①∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
又∵∠BAD=90°,
∴∠DAC=∠BAC,
又AD=AE,AC=AC,
∴△ACD≌△ACE;故①正確;
②同理∠AED=45°,
∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°,
∴∠DEC=60°,
∵ACD≌△ACE,
∴CD=CE,
∴△CDE為等邊三角形.故②正確;
③∵AE=AE,△ACD≌△ACE,△CDE是等邊三角形,
∴∠EAF=∠ADF=45°,AD=AE,
∴AF=EF=DF,AF⊥DE.
設(shè)AF=EF=DF=x,
∴AE=
2
x,CE=2x,
∴CF=
3
x,
∴AC=(1+
3
)x,
∵AB=BC,
∴AB2+BC2=[(1+
3
)x]2
解得:AB=
2
+
6
2
x,
BE=AB-AE=
6
-
2
2
x,
∴EF:BE=x:
6
-
2
2
x=(
6
+
2
):2.故③正確;
④∵S△ECD:S△ECF=(
1
2
×ED×CF):(
1
2
×EF×CF)=ED:EF,
又∵△CDE為等邊三角形,EC=ED,
∴S△ECD:S△ECF=EC:EF.故④正確.
故選D.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查直角梯形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形等知識(shí),綜合性較強(qiáng),難度中等.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,E為BC邊上的點(diǎn).將直角梯形ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使△ABD與△EBD重合(如圖中陰影所示).若∠A=130°,AB=4cm,則梯形ABCD的高CD≈
3.1
cm.(結(jié)果精確到0.1cm)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,AC⊥BC,AB=10cm,BC=6cm,F(xiàn)點(diǎn)以2cm/秒的速度在線段AB上由A向B勻速運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)同時(shí)以1cm/秒的速度在線段BC上由B向C勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<5).
(1)求證:△ACD∽△BAC;
(2)求DC的長;
(3)設(shè)四邊形AFEC的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最小值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1998•大連)如圖,在直角梯形ABCD中.AD∥BC,DC⊥BC,且BC=3AD.以梯形的高AE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G、H.過點(diǎn)F引⊙O的切線交BC于點(diǎn)N.
(1)求證:BN=EN;
(2)求證:4DH•HC=AB•BF;
(3)設(shè)∠GEC=α.若tan∠ABC=2,求作以tanα、cotα為根的一元二次方程.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠ADC=90°,AB=3a,CD=2a,AD=2,點(diǎn)E、F分別是腰AD、BC上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)G在AB上,且四邊形AEFG是矩形.設(shè)FG=x,矩形AEFG的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)在腰BC上求一點(diǎn)F,使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍,并求出此時(shí)BF的長;
(3)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),矩形AEFG能否為正方形?若能,求出其邊長;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=6cm,CD=10cm,AD=5cm,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)Q以1cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng),當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
(1)經(jīng)過幾秒鐘,點(diǎn)P、Q之間的距離為5cm?
(2)連接PD,是否存在某一時(shí)刻,使得PD恰好平分∠APQ?若存在,求出此時(shí)的移動(dòng)時(shí)間;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案