Question

10．在平面直角坐標系x0y中，拋物線y=ax²-$\frac{1}{2}$x+4與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側(cè)），與y軸交于點C，且點B的坐標為（4，0），點E（m，0）為x軸上的一個動點，過點E作直線1⊥x軸，與拋物線y=ax²-$\frac{1}{2}$x+4交于點F，與直線AC交于點G．
（1）分別求拋物線y=ax²-$\frac{1}{2}$x+4和直線AC的函數(shù)表達式；
（2）當-8＜m＜0時，求出使線段FG的長度為最大值時m的值；
（3）如圖2，作射線0F與直線AC交于點P，請求出使FP：PO=1：2時m的值．

Answer 1

分析 （1）將B（4，0）代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到拋物線的解析式，然后由拋物線的解析式可求得A、C的坐標，接下來，依據(jù)待定系數(shù)法可求得AC的解析式；
（2）由E（m，0）可知F（m，-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{1}{2}m$+4），G（m，$\frac{1}{2}$m+4）．從而得到FG與m的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)配方法求得FG的最大值，以及m的取值即可；
（3）先證明△PEG∽△POC，由相似三角形的性質(zhì)可求得FG=2，由（2）可知此時m的取值

解答 解：（1）∵將B（4，0）代入拋物線的解析式得：16a-2+4=0，解得：a=-$\frac{1}{8}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}x+4$．
∵令y=0得；-$\frac{1}{8}$x²-$\frac{1}{2}x+4$=0，解得；x₁=-8，x₂=4，
∴A（-8，0）．
∵令x=0得：y=4，
∴C（0，4）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∵將點A、C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-8k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=4，
∴直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}x+4$．
（2）∵點E的坐標為（m，0），
∴點F的坐標為（m，-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{1}{2}m$+4），G（m，$\frac{1}{2}$m+4）．
∴FG=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{1}{2}m$+4-（$\frac{1}{2}$m+4）=$-\frac{1}{8}$m²-m=-$\frac{1}{8}$（m+4）²+2．
∴當m=-4時，F(xiàn)G有最大值，最大值為2．
（3）∵FG∥OC，
∴△PEG∽△POC．
∴$\frac{FG}{CO}=\frac{EP}{OP}$．
∴$\frac{FG}{OC}=\frac{1}{2}$時，F(xiàn)P：PO=1：2．
∴$\frac{FG}{4}=\frac{1}{2}$．
∴FG=2．
由（2）可知當m=-4時，F(xiàn)G有最大值，最大值為GF=2．
∴m=-4．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最大值、相似三角形的性質(zhì)和判定，求得FG與m的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．