【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O是坐標原點,菱形OABC的頂點A(3,4),C在x軸的負半軸,拋物線y=﹣ (x﹣2)2+k過點A.

(1)求k的值;
(2)若把拋物線y=﹣ (x﹣2)2+k沿x軸向左平移m個單位長度,使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形OABC的頂點C.試判斷點B是否落在平移后的拋物線上,并說明理由.

【答案】
(1)解:∵ 經(jīng)過點A(3,4),

,

解得:


(2)解:如圖所示,

設(shè)AB與y軸交于點D,則AD⊥y軸,AD=3,OD=4,

∵四邊形OABC是菱形,

∴OA=AB=OC=5,BD=AB﹣AD=2,

∴B(﹣2,4).

令y=0,得

解得:x1=0,x2=4,

∴拋物線 與x軸交點為O(0,0)和E(4,0),OE=4,

當m=OC=5時,平移后的拋物線為 ,

令x=﹣2得, ,

∴點B在平移后的拋物線 上;

當m=CE=9時,平移后的拋物線為

令x=﹣2得, ,

∴點B不在平移后的拋物線 上.

綜上,當m=5時,點B在平移后的拋物線上;當m=9時,點B不在平移后的拋物線上


【解析】(1)將點A的坐標代入二次函數(shù)解析式中,可得出關(guān)于k的一元一次方程,解方程即可得出結(jié)論;(2)設(shè)AB與y軸交于點D,結(jié)合勾股定理以及菱形的性質(zhì)找出點B、C的坐標,根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出該拋物線與x軸的交點坐標,再根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后過C點的二次函數(shù)的解析式,代入B點的坐標來驗證其是否在平移后的函數(shù)圖象上即可得出結(jié)論..
【考點精析】利用二次函數(shù)圖象的平移和菱形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平移步驟:(1)配方 y=a(x-h)2+k,確定頂點(h,k)(2)對x軸左加右減;對y軸上加下減;菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.

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