Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)E，F兩點(diǎn)，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．

（1）試判斷FG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AC=6，CD＝5，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）與相切，證明見詳解；（2）

【解析】

（1）如圖，連接OF，DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD，由CD為直徑，得到DF⊥BC，得到F為BC中點(diǎn)，證明OF∥AB，進(jìn)而證明GF⊥OF，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理求出BC，BF,根據(jù)三角函數(shù)sinB的定義即可得到結(jié)論．

解：（1）答：與相切．

證明：連接OF，DF，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD=BD=，

∵CD為 ⊙O直徑，

∴DF⊥BC，

∴F為BC中點(diǎn)，

∵OC=OD，

∴OF∥AB，

∵FG⊥AB，

∴FG⊥OF，

∴為的切線；

（2）∵CD為Rt△ABC斜邊上中線，

∴AB=2CD=10，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴BC=，

∴BF=，

∵FG⊥AB，

∴sinB=，

∴，

∴．