Question

【題目】如圖，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，連接，且平分，延長交的延長線于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求證：；

（3）求證：是的平分線；

（4）探究和的面積間的數(shù)量關(guān)系，并寫出探究過程.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析；（4）；詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)AAS證明，再由全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

（2）先證明得到△ABF是等腰三角形，從而證明，再根據(jù)得到結(jié)論；

（3）先證明AE=EF,再結(jié)合△ABF是等腰三角形，根據(jù)三線合一得到結(jié)論；

（4）根據(jù)三線合一可得S△ABE=S△BEF，再根據(jù)S△BEF=S△BCE+S△CEF和得到結(jié)論．

（1）證明：∵，

∴，，

∵為的中點(diǎn)，

∴，

在和中

，

∴，

∴；

（2）證明：∵平分，

∴，

由（1）知，

∴，

∴△ABF是等腰三角形，

∴

由（1）知，

∴；

（3）證明：由（1）知，

∴，

由（2）知，

∴是等腰底邊上的中線，

∴是的平分線；

（4）∵△ABF是等腰三角形，BE是中線，(已證)

∴S△ABE=S△BEF，

又∵S△BEF=S△BCE+S△CEF，(已證)，

∴S△BEF=S△BCE+S△ADE，

∴．