Question

【題目】問題情境：課堂上，同學(xué)們研究幾何變量之間的函數(shù)關(guān)系問題：如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=4，BD=2．點(diǎn)P是AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作MN⊥AC，垂足為點(diǎn)P（點(diǎn)M在邊AD、DC上，點(diǎn)N在邊AB、BC上）．設(shè)AP的長為x（0≤x≤4），△AMN的面積為y．

建立模型：（1）y與x的函數(shù)關(guān)系式為：，

解決問題：（2）為進(jìn)一步研究y隨x變化的規(guī)律，小明想畫出此函數(shù)的圖象．請你補(bǔ)充列表，并在如圖的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖象：

x	0		1		2		3		4
y	0								0

（3）觀察所畫的圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：　 　．

Answer 1

【答案】(1) ①y=;②;(2)見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)線段相似的關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式（2）代入①中函數(shù)表達(dá)式即可填表（3）畫圖像，分析即可.

（1）設(shè)AP=x

①當(dāng)0≤x≤2時

∵M(jìn)N∥BD

∴△APM∽△AOD

∴

∴MP=

∵AC垂直平分MN

∴PN=PM=x

∴MN=x

∴y=APMN=

②當(dāng)2＜x≤4時，P在線段OC上，

∴CP=4﹣x

∴△CPM∽△COD

∴

∴PM=

∴MN=2PM=4﹣x

∴y==﹣

∴y=

（2）由（1）

當(dāng)x=1時，y=

當(dāng)x=2時，y=2

當(dāng)x=3時，y=

（3）根據(jù)（1）畫出函數(shù)圖象示意圖可知

1、當(dāng)0≤x≤2時，y隨x的增大而增大

2、當(dāng)2＜x≤4時，y隨x的增大而減小