Question

19．如圖，PA，PB為⊙O的切線，切點為A、B，OC∥PA交PB于點C，AC交⊙O于點D．
（1）連接AB，BD，求證：∠CBD=∠BAC；
（2）連接OD，若$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，求tan∠COD的值．

Answer 1

分析 （1）延長BO交⊙O于N，連接DN，欲證明∠CBD=∠BAC，只要證明∠N=∠BAD，∠CBD=∠BAC即可．
（2）連接OA，作DM⊥OC于M，由DM∥OA，設OA=OD=a，得$\frac{DM}{OA}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，得DM=$\frac{1}{3}$a，在RT△DOM中利用勾股定理求出OM即可解決問題．

解答 （1）證明：延長BO交⊙O于N，連接DN．
∵PA是⊙O切線，
∴PB⊥NB，
∴∠PBN=90°，
∴∠PBD+∠NBD=90°，
∵BN是直徑，
∴∠BDN=90°，
∴∠NBD+∠N=90°，
∴∠PBD=∠N，
∵∠N=∠BAD，
∴∠CBD=∠BAC．
（2）解：連接OA，作DM⊥OC于M．
∵PA是⊙O切線，
∴PA⊥OA，
∵OC∥PA，
∴OC⊥OA，
∵DM⊥OC，AD=2CD，
∴DM∥OA，
設OA=OD=a，
∴$\frac{DM}{OA}$=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴DM=$\frac{1}{3}$a，
在RT△ODM中，∵OD=a，DM=$\frac{1}{3}$a，
∴OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{3}a）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
∴tan∠COD=$\frac{DM}{OM}$=$\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{2\sqrt{2}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查切線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理、圓等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，題目比較難，屬于中考壓軸題．