Question

19．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y₁=ax²+bx（a≠0），與x軸正半軸交于點(diǎn)A₁（2，0），頂點(diǎn)為P₁，△OP₁A₁為正三角形，現(xiàn)將拋物線y₁=ax²+bx（a≠0）沿射線OP₁平移，把過點(diǎn)A₁時的拋物線記為拋物線y₂，記拋物線y₂與x軸的另一交點(diǎn)為A₂；把拋物線y₂繼續(xù)沿射線OP₁平移，把過點(diǎn)A₂時的拋物線記為拋物線y₃，記拋物線y₃與x軸的另一交點(diǎn)為A₃；…．；把拋物線y₂₀₁₅繼續(xù)沿射線OP₁平移，把過點(diǎn)A₂₀₁₅時的拋物線記為拋物線y₂₀₁₆，記拋物線y₂₀₁₆與x軸的另一交點(diǎn)為A₂₀₁₆，頂點(diǎn)為P₂₀₁₆．若這2016條拋物線的頂點(diǎn)都在射線OP₁上．
（1）①求△OP₁A₁的面積；②求a，b的值；
（2）求拋物線y₂的解析式；
（3）請直接寫出點(diǎn)A₂₀₁₆以及點(diǎn)P₂₀₁₆坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①過點(diǎn)P₁作作P₁B₁⊥x軸，垂足為B₁．由等邊三角形的性質(zhì)可知可求得P₁B₁的長度，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得△OP₁A₁的面積；
②將點(diǎn)A₁（2，0）、P₁（1，$\sqrt{3}$）代入拋物線的解析式，即可求得a、b的值；
（2）先利用待定系數(shù)法求得直線OP₁的解析式，然后設(shè)點(diǎn)P₂（a，$\sqrt{3}a$）．則y₂=-$\sqrt{3}$（x-a）²+$\sqrt{3}$a，接下來，將點(diǎn)A₁的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；
（3）由a₂=4，可求得點(diǎn)P₂（4，4$\sqrt{3}$），然后依據(jù)拋物線的對稱性可求得點(diǎn)A₂（6，0），接下來，再求得P₃（9，9$\sqrt{3}$），A₃（12，0），最后觀察所得結(jié)果找出其中的規(guī)律，依據(jù)規(guī)律可求得問題的答案．

解答 解：（1）①過點(diǎn)P₁作作P₁B₁⊥x軸，垂足為B₁．

∵△OP₁A₁為正三角形，
∴∠P₁OA₁=60°，P₁O=P₁A₁．
又∵P₁B₁⊥x軸，
∴0B₁=B₁A₁=1．
∴P₁B₁=OP₁×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴P₁（1，$\sqrt{3}$），△OP₁A₁的面積=$\frac{1}{2}$OA₁•P₁B₁=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
②∵將點(diǎn)A₁（2，0）、P₁（1，$\sqrt{3}$）在拋物線y₁上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\sqrt{3}}\\{4a+2b=0}\end{array}\right.$，解得：a=-$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)直線OP₁的解析式為y=kx．
∵將P₁（1，$\sqrt{3}$）代入得：k=$\sqrt{3}$，
∴直線OP₁的解析式為y=$\sqrt{3}$x．
∵點(diǎn)P₂在直線OP₁上，
∴設(shè)點(diǎn)P₂（a，$\sqrt{3}a$）．
∴y₂=-$\sqrt{3}$（x-a）²+$\sqrt{3}$a．
∵將點(diǎn)A₁的坐標(biāo)代入得：-$\sqrt{3}$（2-a）²+$\sqrt{3}$a=0，解得：a₁=1（舍去），a₂=4，
∴y₂=-$\sqrt{3}$（x-4）²+4$\sqrt{3}$，整理得：y₂=-$\sqrt{3}$x²+8$\sqrt{3}$x-12$\sqrt{3}$．
（3）∵a₂=4，
∴P₂（4，4$\sqrt{3}$）．
∴點(diǎn)A₁與D點(diǎn)A₂關(guān)于x=4對稱，
∴點(diǎn)A₂（6，0）．
設(shè)P₃（b，$\sqrt{3}b$）則y₃=-$\sqrt{3}$（x-b）²+$\sqrt{3}$b．
∵將A₂（6，0）代入得-$\sqrt{3}$（6-b）²+$\sqrt{3}$b=0，解得：b₁=4（舍去），b₂=9，
∴P₃（9，9$\sqrt{3}$）．
∵A₂（6，0），點(diǎn)A₂與A₃關(guān)于x=9對稱，
∴A₃（12，0）．
P₁（1，$\sqrt{3}$），A₁（2，0），
P₂（4，4$\sqrt{3}$），A₂（6，0），4=2²，6=2×3；
P₃（9，9$\sqrt{3}$），A₃（12，0），9=3²，12=3×4；
…
P₂₀₁₆（4064256，4064256$\sqrt{3}$），A₂₀₁₆（4066272，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了正三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的對稱性，通過計(jì)算找出點(diǎn)“P”和點(diǎn)“A”的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．