Question

11．如圖，正方形ABCD的邊CD與Rt△EFG的直角邊EF重合，將正方形ABCD以1cm/s的速度沿FE方向移動，在移動過程中，邊CD始終與邊EF重合（移動開始時點C與點F重合）．連接AE，過點C作AE的平行線交直線EG于點H，連接HD．已知正方形 ABCD 的邊長為1cm，EF=4cm，設正方形移動時間為x（s），線段EH的長為y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）當x=2時，AE的長為$\sqrt{2}$；
（2）試求出y關于x的函數(shù)關系式，并結合圖形直接寫出點H在直線EG上運動的長度；
（3）當線段HD所在直線經(jīng)過點B時，求線段HD的長．

Answer 1

分析 （1）利用運動時間計算出DE，再利用勾股定理計算即可；
（2）利用運動時間表示出，DE，CE，再判斷出△CEH∽△EDA，即可；
（3）由線段HD所在直線經(jīng)過點B，計算出∠BDC=∠EDH=45°，在利用（2）相似的結論計算DE，即可．

解答 解：（1）∵EF=4，x=2，CD=1，
∴DE=EF-2x-CD=4-2×1-1=1，
∵AD=1，
∴AE²=AD²+DE²=1+1=2，
∴AE=$\sqrt{2}$，
故答案為$\sqrt{2}$；
（2）∵EF=4，
∴DE=EF-x-1=3-x
CE=EF-x=4-x，
∵CH∥AE，
∴∠AED=∠HCE，
∵∠HEC=∠EDA=90°，
∴△CEH∽△EDA，
∴$\frac{AD}{EH}=\frac{DE}{CE}$，
∴$\frac{1}{y}=\frac{3-x}{4-x}$
∴y=$\frac{4-x}{3-x}$，
當x=0時，y=$\frac{4}{3}$，
當x=2.5時，y=3，
∴點H在直線EG上運動的長度為3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$．
（3）∵線段HD所在直線經(jīng)過點B，
∴∠BDC=∠EDH=45°
∴∠EHD=∠EDH=45°
即△HED是等腰直角三角形，
∴DE=EH
由（2）有，$\frac{AD}{EH}=\frac{DE}{CE}$，
∵AD=1，DE=EF-x-1=3-x，CE=4-x，
∴$\frac{1}{3-x}=\frac{3-x}{4-x}$，
∴x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（舍）
∴DE=3-$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴HD=$\sqrt{2}$DE=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、等腰三角形的性質及解直角三角形的知識，解答本題的關鍵是用移動的時間表示出有關線段的長度，然后運用所學知識進行求解．